平衡序列问题（洛谷【宝石串】题解）_洛谷宝石答案-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/R_D_LEGEND/article/details/145580144

题目大意：

给出一个序列 $a\ (|a| ≤ 10^6)$ ，其种只可能出现两种元素。如果某个子序列中两种元素的个数相同，就可以说这个序列是平衡的。
（链接在上面了，不懂可以自己看原题。 $∣ a ∣$ 代表 $a$ 的长度）

要实现的问题：如何判定一个序列是否平衡

（假如现在要判断序列 $k$ 是否平衡）
首先，要让两种元素个数相同，那么 $∣ k ∣$ 就必须是偶数，否则就不可能平衡。
第二，如果 $k$ 中元素 A 的个数等于 $\over 2}|k|$ 那么它就是平衡的，否则不平衡。在这一步可以使用前缀和优化，假设 A 是 $1$ ，B 是 $0$ ，那么这里的区间就等于 A 的个数。

bool check(int left, int right) // 左闭右闭区间
{
	if ((right - left + 1) % 2 == 1)
	{
		return false;
	}
	if (sum[right] - sum[left - 1] == (right - left + 1) / 2)
	{
		return true;
	}
	return false;
}

这就是这道题的核心部分。可是 $∣ a ∣$ 都到 $10^6$ 了，循环嵌套肯定得超时啊

但事实证明，在加上了亿点点优化以后，在这两道题里确实能过。

所以就贴代码吧（枚举前面不做解释）

“正解”（宝石串）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
int a[100010], sum[100010];
int maxl = 0;
int main()
{
    string s;
    cin>>s;
    n=s.size();
    s=' '+s;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
    	sum[i]=sum[i-1];
    	if(s[i]=='G')
    	{
    		sum[i]++;
		}
	}
    for (int i = 1; i <= n;i++)
    {
        int j; 
        if(maxl == 0)
        {
            j = i + 1;
        }
        else
        {
            j = i + maxl - 1;
        }
        for (; j <= n;j+=2)
        {
            int l = j-i+1;
            if(sum[j]-sum[i-1] == l/2)
            {
                maxl = max(maxl,l);
            }
        }
    }
    cout << maxl;
}
// 因为判断很容易所以这里就没写 check 函数

你应该注意到了，上面的正解是带引号的。它确实不是真正的正解，只是数据太水了而已（之前在 Turing 里做过一个改版，会 WA 掉两个点）。

那么怎么做呢？

前面说过可以把元素当作 $0$ 和 $1$ 来看。但还有一种想法：可以看做 $1$ 和 $- 1$ ，这样只要某个区间的和是 $0$ ，那么它就平衡了。
而区间和等于 sum[right] - sum[left - 1]。如果某区间等于 $0$ ，也就意味着sum[right] == sum[left - 1]。反之，只要满足这个条件，该区间也就平衡。
那么问题就简化为了
（在前缀和中）找一个相同，且距离最远的数，然后求出差值。
这下就简单了。往后遍历，用一个 map 记录某个（前缀和中的）值第一次出现的下标；如果某个值第二次出现就更新答案。
注：map中一开始要加入一个元素 0 ，并将 map[0] 设为 0。因为要枚举的是一个左开右闭的区间。如果某个 sum[k] == 0，也就是它前面的就是一个平衡序列，但是前面没有记录过 0 ，导致答案没有更新。
能想到这一步应该就能很快写出来了：

正解（真的）

#include <iostream>
#include <map>
#include <string>
using namespace std;
string s;
map<int, int> mp;
int sum[1000010], ans = 0;
int main()
{
    mp[0] = 0;
    cin >> s;
    for (int i = 1; i <= s.size(); i++)
    {
        sum[i] = sum[i - 1];
        if (s[i - 1] == 'G')
        {
            sum[i]++;
        }
        else
        {
            sum[i]--;
        }
    }
    for (int i = 1; i <= s.size(); i++)
    {
        auto it = mp.find(sum[i]);
        if (it != mp.end())
        {
            ans = max(i - it->second, ans);
        }
        else
        {
            mp[sum[i]] = i;
        }
    }
    cout << ans << '\n';
    return 0;
}