背包理解

01背包
有 N件物品和一个容量为V的背包。第 i件物品的费用是w[i]，价值是 v[i]，求将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

​for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = V; j >= w[i]; j–)
f[j] = max(f[j], f[j - w[i]] + v[i]);

完全背包
有 N种物品和一个容量为 V的背包，每种物品都有无限件可用。第 i i i种物品的费用是 w [ i ]，价值是 v[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = w[i]; j <= V; j++)
f[j] = max(f[j], f[j - w[i]] + v[i]);

细看之下，完全背包和01背包的区别就是物品是否无限，代码更是只有for循环的顺序不同，为什么这样一改就可以解决完全背包的问题了呢？

01背包按照j=V到0的逆序,是为了保证每种物品只取一次，第i次循环的f[i][j]就是由f[i-1][j-w[i]]递推而来，选第i件物品时，f[i-1][j-w[i]]没有选择过第i件物品
完全背包是每种物品有无限件，所以考虑的是加选第i件物品，需要的是一个已经选过第i件物品的状态f[i-1][j-w[i]]就必须采用j=0到V的策略

首先说完全背包的正序枚举
假设你现在有一个体积为V的背包，有一个体积为3，价值为4的物品，如果正序枚举的话，等我们填充到3这个位置，就会得到价值为4的物品，
等我们在填充到 6这个位置时，发现还可以造成更大的价值，也就是把这个物品再用一遍

这就是完全背包为什么体积正序枚举的原因
下面说01背包的倒序枚举
题目一样，此时倒序填充背包，为了方便从 6 开始

此时，在体积为6的背包中有了价值为4的物品，但体积为3的背包中物品的价值仍然为0，也就是说填充体积为6的背包只得到了填充体积为3的背包的价值，等再枚举到体积为3的背包时，我们才填充了体积为3的背包，接下来枚举物品是就不会再重复使用这个物品了，所以这个物品只被放了一次，最后的状态是这样的

多重背包问题
题目
有 N种物品和一个容量为 VV的背包。第 ii种物品最多有 p[i]件可用，每件费用是 w[i]，价值是 v[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
基本方法是转化为01背包求解：把第 i i i种物品换成 p [ i ]件01背包中的物品，则得到了物品数为 Σ p [ i ]的01背包问题，直接求解，复杂度仍然是O(V∗Σp[i])。但是我们期望将它转化为01背包问题之后能够像完全背包一样降低复杂度。仍然考虑二进制的思想，我们考虑把第 i i i种物品换成若干件物品，使得原问题中第 i i i种物品可取的每种策略

for(i=0; i<n; i++)
{
c=1;
scanf("%d%d",&a,&b);//a是物品的个数，b是价值
//将个数拆分成1，2，4，8，16个
while(a>c)
{
w[k++]=cb;
a-=c;
c<<=1;
}
w[k++]=ab;
}

也可以将完全背包改一下
状态转移方程

f[i][j]=max(f[i−1][j−k∗w[i]]+k∗v[i])∣0<=k<=p[i]

混合背包问题
问题
如果将前面三个背包混合起来，也就是说，有的物品只可以取一次（01背包），有的物品可以取无限次（完全背包），有的物品可以取的次数有一个上限（多重背包），应该怎么求解呢？
未完待续