数学的力量（三）

这次要写的内容稍微简单些，很多天忙着写论文没有看书，只能翻翻箱底拿点东西写了。

其实写些博客主要也就是自己看，就和照相一样，多年后可以知道当年学了些什么，当年的水平是如何如何的幼稚，还可以给自己的晚辈看。

今天的博客就从斐波那契数列入手吧。

说到斐波那契数列真的是再也熟悉不过了，先来个冷笑话，据说斐波那契数列的英文应该是

F i bb ooo nnnnn aaaaaaaa ccccccccccccc cccccccccccccccccc iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii数列才对

它的递归定义形式F(n)=F(n-1)+F(n-2)  ，F(0)=1，F(1)=0。

几乎任何一本讲程序设计的入门书籍都会在讲递归的把斐波那契数列当做例子，所以下面就简单写出生成斐波那契数列的代码：

int getnFibonacci(int n)
{
    
    if(n==0 || n==1)
    {
         return 1;
    }
   return genFibonacci(n-1)+genFibonacci(n-2);
}

好了，这就是一个最简单的生成斐波那契数列的代码，它的调用控件是二叉树形式的，因此它的时间复杂度是O(2^n) ，而最大递归深度为n，因此空间复杂度是O(n)。

诚然这段代码有很多问题，比如对于子问题的求解进行了多次导致运行效率的低下，如果仍采用这种思路最好改用动态规划来实现，再比如若传入一个小于0的n会导致递归无法退出从而导致stack over flow ，但总体来说，这段代码还是能正常工作的。

接下来让我们使用数学的方法来研究这个问题。

由于递推公式是F(n)=F(n-1)+F(n-2)，所以不妨设通项F(n)=q^n，然后尝试求出这个通项。

怎么求呢，其实在大学的高数课程里已经讲过了，由于这个蛋疼的csdn没有公式编辑器，所以这里贴组合数学的某一页的证明过程：

 

则求出一个通项公式，然后根据此通项公式调用一些数学函数库中的函数就可求出斐波那契数列了，是不是要简单很多。

这种情况下空间复杂度是O(1)，时间复杂度是O(n)，但这个O(n)在具体的执行时间上要比我们平常自己写的函数快的多，因为直接调用一些高效的数学函数库，里面大部分代码直接由汇编写成，所以效率高。

但这样做同时也有个缺点，进行无理数或者无限循环小数运算的时候会带来精度问题，所以对于结果的处理上我们还要四舍五入处理成整数才能得到最终的斐波那契数列，唯一美中不足的就是这一点了。