数论知识点整理

数论
Java中BigInteger类的用法
1.add(); //大整数相加
BigInteger a=new BigInteger(“23”);
BigInteger b=new BigInteger(“34”);
a.add(b);
2.subtract(); //相减
3.multiply(); //相乘
4.divide();  //相除取整
5.remainder(); //取余
6.pow();  //pow(int)如果里面不是int无法执行
a.pow(b)=a^b
7.gcd();  //最大公约数
8.abs(); //绝对值
sum = sum.abs();
9.negate(); //取反数
10.mod(); a.mod(b) = a%b = a.remainder(b);
11.max();
12.min();
13.public int comareTo();
14.boolean equals(); //是否相等

费马小定理

若正整数 a 与素数 p 互质，则有 a^(p - 1) ≡ 1( mod p ) 。

欧拉定理

若正整数a , n互质，则a^φ(n)≡1(mod n) 其中φ(n) 是欧拉函数（1~n)与n互质的数。

欧拉定理的推论

若正整数a，n互质，那么对于任意正整数b，有：
a^b ≡ a^(b mod φ（n )）（mod n）

引理
对于任意互质的正整数a，n，满足：ax ≡1（mod n）最小的整数值X0是φ（n）的约数。
费马大定理
当n > 2时，关于x,y,z的方程x^n+yn=z^n没有正整数解。
奇数列：a=2n+1， b= n^2+（n+1）2-1， c= n^2+（n+1）2 
偶数列：a= 2n ，b= n^2 -1 ， c= n^2+1 。

模运算的运算规则

(a + b)  mod  p = (a  mod  p + b  mod  p)  mod  p      
(a - b)  mod  p = (a  mod  p - b  mod  p)  mod  p             
(a * b)  mod  p = (a  mod  p * b  mod  p)  mod  p              
a^b  mod  p = ((a  mod  p)^b)  mod  p                              
结合率
( (a+b)  mod  p + c)  mod  p = (a + (b+c)  mod  p)  mod  p 
( (ab)  mod  p * c) mod  p = (a * (b * c)  mod  p)  mod  p    
交换率： (a + b)  mod  p = (b+a)  mod  p                
               (a * b)  mod  p = (b * a)  mod  p                 
分配率：
((a +b) mod  p * c)  mod  p = ((a * c)  mod  p +(bc)  mod  p)  mod  p 
重要定理：
若a≡b ( mod  p)，则对于任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) ( mod p)；
 若a≡b ( mod  p)，则对于任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) ( mod p)；
 若a≡b ( mod  p)，则对于任意的c，都有ac≡ bc ( mod p)；

唯一分解定理

一个数n肯定能被分解成  n=p1^a1 *  p2^a2 . . .*pn^an 
1.求出数n的因子个数

（1+a1）* (1+a2) * (1+a3) * (1+a4)…*(1+an)

2.求所有的因子之和
公式:
（q1^0+q11+q1^2…q1a1）（q2^0+q21+q2^2…q2a2）…*（qn^0+qnn+qn^2…qnan）

欧拉函数性质：

定理0：对于质数p，φ§ = p - 1。注意φ(1)=1.
定理一：设m与n是互素的正整数，那么
定理二：当n为奇数时，有。
因为2n是偶数，偶数与偶数一定不互素，所以只考虑2n与小于它的奇数互素的情况，则恰好就等于n的欧拉函数值。
定理三：设p是素数，a是一个正整数，那么=（p-1)*P^(a-1);
关于这个定理的证明用到容斥：
由于表示小于与互素数的正整数个数，所以用减去与它不互素的数的个数就行了。
那么小于与不互素数的个数就是p的倍数个数，有个。所以定理得证。

定理四：设为正整数n的素数幂分解，那么

这个定理可以根据定理一和定理三证明，其实用到的就是容斥。
定理五：设n是一个正整数，那么

这个其实可以看莫比乌斯反演就明白了。
定理六：设m是正整数，(a,m)=1，则：是同于方程的解。
定理七：如果n大于2，那么n的欧拉函数值是偶数。
定理八：小于N且与N互质的所有数的和是φ(n)*n/2。
威尔逊定理：
1.当且仅当p为素数时，( p -1 )! ≡ -1 ( mod p )
2.当且仅当p为素数时，( p -1 )! ≡ p-1 ( mod p )
3.若p为质数，则p能被(p-1)!+1整除
4.当且仅当p为素数时，p∣(p−1)!+1
杨辉三角：
typedef long long LL;
const int N = 60;
LL c[N][N];
void Count()
{
for (int i = 0; i < N; i ++)
c[i][0] = c[i][i] = 1;
for (int i = 1; i < N; i ++)
for (int j = 1; j <= i; j ++)
c[i][j] = c[i-1][j] + c[i-1][j-1];
}

第一类斯特林数

定理
第一类斯特林数 S1(n,m) 表示的是将 n 个不同元素构成 m 个圆排列的数目。
设P个人的编号为1，2，3，4…P，将P个人排成k个圆圈有两种情况：
1.在一个圆圈里只有编号为P的人，排法有S1（P-1，K-1）个。
2.P至少和另外一个人在一个圆圈里。这些排法可以通过把1，2…p-1排成k个圆圈，再把p放在1，2…p-1任意一个人的左边，因此，第二种类型的排法有（p-1）*S1（p-1，k）种做法
代码：
long long s[maxn][maxn]; //存放要求的第一类Stirling数
const long long mod = 1e9+7; //取模
void init()
{
memset(s , 0 , sizeof(s));
s[1][1]=1;
for (int i = 2; i <= maxn-1; i ++) {
for (int j = 1; j <= i; j ++) {
s[i][j]=s[i-1][j-1]+(i-1)*s[i-1][j];
if(s[i][j] >= mod)
s[i][j] %= mod;
}
}

【第二类斯特林数】
定理
第二类Stirling数S2（P，K）计数表示把P元素划分到k个不可区分的盒子里且没有空盒子的划分个数
代码：
long long s[maxn][maxn];//存放要求的Stirling数
const long long mod=1e9+7;//取模
void init()
{
memset(s,0,sizeof(s));
s[1][1]=1;
for ( int i = 2; i<= maxn-1; i ++) {
for(int j = 1; j <= i; j ++) {
s[i][j]=s[i-1][j-1] + j * s[i-1][j];
if(s[i][j] >= mod)
s[i][j] %= mod;
}
}
}

Bell数
Bell数B§B§是将p元素集合分到非空且不可区分盒子的划分个数（没有说分到几个盒子里面）。
代码实现：
int Bell[100][100];
void GetBell()
{
Bell[1][1] = 1;
for (int i = 2; i < 50; i++)
{
Bell[i][1] = Bell[i - 1][i - 1];
for (int j = 2; j <= i; j++)
Bell[i][j] = Bell[i][j - 1] + Bell[i - 1][j - 1];
}
}