密码学数学基础——群、环、域

最新推荐文章于 2025-10-14 09:40:00 发布

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#密码学

本文介绍了密码学中重要的数学概念——群、环、域的基础知识。群是一类满足特定公理的集合，包括阿贝尔群和半群等。环在加法下形成阿贝尔群，乘法下为半群，并满足分配律。域则是同时满足加法和乘法阿贝尔群性质的集合，但乘法除零元外还需有逆元。这些数学结构在密码学中扮演着重要角色，尤其是在有限域中，由于易于计算机实现，因此在密码算法设计中应用广泛。

在密码学中，很多密码学知识都涉及大不少数学知识，其中群、环、域这三种集合经常会被许多概念提及，在此做以总结。

一、基础概念

幺元，若对于一个二元运算+（+并不是指一般意义的加法，它可以指代任何二元运算），在有若干个数的集合中，存在一个元素，对于其他任何元素，通过这个二元运算之后，结果都是其他任何元素本身，则称这个元素是这个集合对于该二元运算+的幺元，记为e。以加法为例，0就是在整数集合中加法的幺元；
零元，若对于一个二元运算+（+并不是指一般意义的加法，它可以指代任何二元运算），在有若干个数的集合中，存在一个元素，对于其他任何元素，通过这个二元运算之后，结果都是这个元素本身，则称这个数是这个集合对于该二元运算+的零元，记为θ。以乘法为例，0就是在整数集合中加法的零元；
逆元，若对于一个二元运算+（+并不是指一般意义的加法，它可以指代任何二元运算），存在一个元素a，满足a+a^-1=e（e为该运算的幺元），则a与a^-1互为逆元。以加法为例，整数这个集合中，一个数和它的相反数互为逆元。

二、群

群的定义
满足以下公理的集合G称为群：（注：×为广义运算）
①在运算×下是封闭的；
②存在幺元（单位元），且唯一；
③对于G中的任意的元，都有与其对应的逆元，且唯一；
④对于G中的任意的元，都满足结合律。
阿贝尔群的定义
①在运算×下是封闭的；
②存在幺元（单位元），且唯一；
③对于G中的任意的元，都有与其对应的逆元，且唯一；
④对于G中的任意的元，都满足结合律；
⑤对于G中的任意的元，都满足交换律。
半群的定义
①在运算×下是封闭的；
②对于G中的任意的元，都满足结合律。
含幺半群的定义
①在运算×下是封闭的；
②存在幺元（单位元），且唯一；
③对于G中的任意的元，都满足结合律。
群的性质
①当一个群G中只含有有限元素，那么这些元素的个数记为群G的阶，记作#G。
②一个群G中的任何子群在相同的运算下如果也是群，则称之为群G的一个子群。
③如果存在一个最小正整数k，满足g^k=e，则称k为群G中元素g的阶。
④有限群中任意元素β的阶可整除该群的阶。
⑤相较于无限群，有限群因为其易在计算机中实现，故其在密码学中的作用更大。