COCI CONTEST #1 18.10.2014 T4 MAFIJA

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这篇文章探讨了在杀人游戏中，当剩余玩家进行指认时，最多可能存在的杀手数量。通过构建有向图并应用贪心算法或基环树DP等方法解决此问题。

第四题杀人游戏
杀人游戏是一个在信息奥赛选手中流行的游戏，这个游戏不在结果，重在参与，就像信息奥赛一样。这个游戏的一方称为杀手，剩下的一方称为平民。杀手知道每个人的身份，但是平民不知道。在游戏过程中，平民的任务是找出谁是杀手。
游戏玩了若干轮，现在还剩下n个人，每个人都指认了一个杀手。，当然，平民基本是乱猜的，而杀手则全部指认的是平民。在不知道谁是杀手的情况下，最多可能有多少杀手。
输入格式：
第一行包含一个整数N(2<=N<=500000),表示还有n个人。这n个人标号为1到n。
接下来有n行，每行一个数，其中的第k行表示被第k个人指认为杀手的人。
没有谁会指认自己为杀手。
输出格式：
一个整数，表示最多可能的杀手的数量。
40%的数据n<15.
80%的数据n<=2000
输入样例1：
3
2
1
1
输出样例1：
2
输入样例2：
3
2
3
1
输出样例2：
1
输入样例3：
7
3
3
4
5
6
4
4
输出样例3：
4

第一个样例解释：杀手可能为2和3
第二个样例解释：杀手可能是任何1个人，但不可能多于1个，否则杀手就会指认自己人了。

一般的题。过了40%。
有两个思路，一个是贪心。
贪心就是建一个有向图，入度为0的点肯定是杀手，然后这些点以及它们的邻接点全部删掉然后更新入度。如此循环。
具体看代码：

#include<cstdio>
using namespace std;
int to[500010],deg[500010],n,ans;
bool vis[500010];
void dfs(int u,bool flag)
{
    if(vis[u])return;
    vis[u]=1;
    ans+=flag;
    deg[to[u]]--;
    if(deg[to[u]]==0||flag)
        dfs(to[u],!flag);
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        scanf("%d",&to[i]);
        deg[to[i]]++;
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)
        if(deg[i]==0)dfs(i,1);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        dfs(i,0);
    printf("%d\n",ans);
}

事实上我更喜欢第二种思路，就是基环树DP。
这个是一个有n个点n条边的图，可能会有重边或者图不连通的情况。因此这是一个基环树森林。
然后因为杀手不能互相指认，因此这是一个最大独立集问题。
于是就可以跑DP了。
DP方程：f（i，0）=sigma（max（f（soni，1），f（soni，0））；
f（i，1）=sigma（f（soni，0））+1。
表示如果没有选i这个点，那么i的儿子可选可不选。
如果选了i这个点，i的儿子不能选。
这个不是重点，重点是怎么做基环树上的DP。
考虑到假设选了环上一点U，那么U的一个邻接点V就不能选了，环从这里断开变成一棵树。分别以U为根和以V为根跑一遍树DP，比较最优解即可。
还需要一个dfs来寻找这个环。
这个图是基环树森林，因此需要遍历每个点，没有被访问过的点都要跑dfs和dp

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define maxn 500010
using namespace std;
struct node{
    int v,next;
}edge[2*maxn];
bool vis[maxn];
int head[maxn],cnt=1,n,U,V,E,f[maxn][2],ans;//cnt从1开始，因为后面有^1的操作
void addedge(int u,int v)
{
    edge[++cnt].v=v;
    edge[cnt].next=head[u];
    head[u]=cnt;
}
void dfs(int u,int fa)//找环
{
    vis[u]=1;
    for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
    {
        if(edge[i].v==fa)continue;
        if(vis[edge[i].v])
        {
            U=u;
            V=edge[i].v;
            E=i;
            continue;
        }
        dfs(edge[i].v,u);
    }
}
void dp(int u,int fa)
{
    f[u][0]=0;
    f[u][1]=1;
    for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
    {
        if(i==E||(i^1)==E||edge[i].v==fa)continue;//这条边不能是剪开的那条边
        dp(edge[i].v,u);
        f[u][1]+=f[edge[i].v][0];
        f[u][0]+=max(f[edge[i].v][0],f[edge[i].v][1]);
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int u=1;u<=n;++u)
    {
        int v;
        scanf("%d",&v);
        addedge(u,v);
        addedge(v,u);
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)
        if(!vis[i])
        {
            dfs(i,0);
            dp(U,0);
            int temp=f[U][0];
            dp(V,0);
            ans+=max(temp,f[V][0]);
        }
    printf("%d\n",ans);
}