算法中不可忽视的小技巧：2的幂

前言

本篇博客是关于如何验证一个数是2的幂。比较基础的小知识点，解决起来的方法多种多样。但是代码最短的一种写法所涉及的知识内容还是有一点点深度的，如果是算法入门的小白，值得思考一下！接下来，让我们一起看看如何运用位运算的知识解决这个问题！

231. 2 的幂 - 力扣

以Leetcode 231题为例，先分析一下题目：一个整数是否是2的幂次方，等价于验证一个数在二进制表示下是不是只有一位是1，其余都是0。因此，第一种解法就是迭代验证一个数的每一位是1还是0，如果1出现且仅出现一次，才满足题设条件。

用迭代法实验证这个题的时间复杂度是O(N),参考代码如下：

bool isPowerOfTwo(int n) {
    	//小于0的数必然不是2的幂次方
        if(n<=0)
            return false;
    
        bool flag=false;
        for(int i=0;i<32;i++){
            if((1<<i) & n){
                if(flag){
                    return false;
                }
                else
                    flag=true;
            }
        } 
        return flag;
    }

TIPS:题目的数据范围是-2³¹到2³¹-1，所以要单独处理负数的情况。

所有数字以二进制的形式存储在计算机中，所以可以完全从二进制的层面去思考这道题（二进制运算），即尝试用位运算操作符操作直接验证答案，这样就可以将算法的时间复杂度降为O(N)。

n&(-n)==n and n>0就是最终的答案。

一个整数实际是先将其进行二进制编码，然后转为补码的形式存储到计算机中的[使用补码是为了方便直接使用二进制数完成加减乘除的计算操作]。

为了区分正数、负数，一般原码的最高位是符号位：1标识负数，0标识正数

正数的原码、反码和补码三者相同，不需要做任何操作。

如何得到负数的反码、补码，如下图：

以整数-16为例，我们用6个二进制位表示一个数，,前的二进制位为符号位。

理解上述这个过程之后，应该就能get到n&(-n)的精妙之处了。

1. (-n)操作，改变了n在底层的存储形式：若该数为二的幂次方，取负数使最低位1之前的0全变为1,而最低位1之后的0不变
2. 按位与操作的最终结果就能验证是否满足题设，因为如果按位与得到n的充分条件是n是二的幂次方。

*TIPS：实际在计算机中的补码，是把字的最高有效位解释为负权:

以四位的补码为例。 [1011]_补码 -> $-1\cdot 2^3+0\cdot 2^2+1\cdot 2^1+1\cdot 2^0=-5$

数组变换__牛客网

实际的题目并不会直白的告诉你让你验证一个数是否为2的幂，而是会以下面这样的题出现。看完这篇博客的讲解部分，可以尝试AC这道题。

参考代码如下：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
 
int main() {
    int N;
    cin>>N;
    vector<int> nums(N);
    
    int max_num=0;
    for(int i=0;i<N;i++){
        cin>>nums[i];
        max_num=max(max_num,nums[i]);
    }
    
    for(int num:nums){
        if(max_num%num!=0){
            cout<<"NO"<<endl;
            return 0;
        }
        
        int n=max_num/num;
        //验证n是否为2的幂
        if(n-(n&(-n))!=0){
            cout<<"NO"<<endl;
            return 0;
        }
    }
    cout<<"YES"<<endl;
    return 0;
}