大数加法，一个思路秒杀三个题 | 字符串相加、两数之和、字符串相乘

前言

本博客是保姆级的大数加法思路剖析，带你使用大数加法的思路，AC以下三道题：415. 字符串相加、LCR 025. 两数相加 II和43. 字符串相乘，由于限制了用一种思路去解三道题。看完这篇博客之后，可以帮助你激发解决大数四则运算的思路。

什么是大数加法

大数加法主要解决的是两个非常大的数（超过了基本数据类型能表示的范围）相加的问题。在计算机中，基本数据类型（如int、long等）有固定的位数，因此它们能表示的数值范围是有限的。当需要处理的数值超过了这个范围时，就需要使用特殊的算法来实现大数的加法。即使用string 、list等容器存储数字，再模拟竖式计算的过程，得到最终的答案。

415. 字符串相加 - 力扣（LeetCode）

这道题是大数加法的模版题，AC思路就是上文提到过的模拟竖式计算，整个过程分为两步：

基本循环

如图所示，在没有进位的情况下，分别遍历两个字符串，将同位的数字相加，得数便是得数该位的结果。

char类型与int类型的数字转换公式：

• int型 = char型 - ‘0’
• char型 = int型 + ‘0’

处理进位

我们会遇到两个地方要对进位进行处理

• 当基本循环的两个同位数之和大于10，就会进位到下一位。
• 上一位的进位要加入到基本循环中。

所以得数的某一位的公式可以总结为：str1对应位 + str2对应位 + 进位 = 该位得数，然后再用一个变量存储进位即可。记得得数最后一位也要检查进位变量

string addStrings(string num1, string num2) {
    	//从低位开始遍历
        int i1=num1.size()-1,i2=num2.size()-1;
        string res;
        int next=0;
        while(i1>=0 || i2>=0){
            int temp=0,n1=-1,n2=-1;
            if(i1==-1){
                n1=0;
            }
            else{
                n1=num1[i1]-'0';
                i1--;
            }

            if(i2==-1){
                n2=0;
            }
            else{
                n2=num2[i2]-'0';
                i2--;
            }

            //每一位的组成为：
            //num1对应位+num2对应位+进位
            temp=n1+n2+next;
            
            char ch=temp%10+'0';
            next=temp/10;

            res+=ch;
            
        }
    `	//检查进位变量
        if(next)
            res+='1';
            
        reverse(res.begin(),res.end());
        return res;
    }

LCR 025. 两数相加 II - 力扣（LeetCode）

有了大数加法的基础，对于这样类似竖式计算的题，很容易就能有思路：遍历链表，将链表转为用string表示，然后直接用大数加法计算得出结果，最后将结果再转为链表。（虽然这个方法不是最优解，但如果用STL库中的迭代器区间构造，代码量是比较少的）

参考代码：

ListNode* addTwoNumbers(ListNode* l1, ListNode* l2) {
        ListNode* cur1 = l1;
        ListNode* cur2 = l2;
        string str1;
        string str2;
        while (cur1) {
            str1 += cur1->val + '0';
            cur1 = cur1->next;
        }
        while (cur2) {
            str2 += cur2->val + '0';
            cur2 = cur2->next;
        }
        string temp = addString(str1, str2);	//addstring就是刚才的字符串加法
        ListNode* ans = new ListNode(temp[0] - '0');
        ListNode* cur = ans;
        for (int i = 1; i < temp.size(); i++) {
            int num = temp[i] - '0';
            ListNode* Node = new ListNode(num);
            cur->next = Node;
            cur = cur->next;
        }
        return ans;
    }

当然，我觉得反转链表后，再模拟竖式计算是最优解，少了官方解答或是大数加法的stack或string的额外空间消耗。可以自己尝试实现一下！

43. 字符串相乘 - 力扣（LeetCode）

如果想用大数加法的思路解决这道题，就要想起乘法的本质：“n*m”表示n个m相加的和。这样就将乘法过程转化为了加法过程，我们就能直接用大数加法的接口去解决这道题：

string multiply(string num1, string num2) {
        if(num1=="0"||num2=="0")
            return "0";
            
        string res,cot("0");
        while(cot != num1){
            cout<<cot<<endl;
            cot=addStrings(cot,"1");
            res=addStrings(res,num2);
        }
        return res;
}

当然，这样做是会超时的，因为“n个”的n是大数，进行n次相加必然超时，所以需要优化我们的代码。

我们还是拆解为n个数相加，但尝试模拟实现竖式乘法的过程，我们让n变为另一个数字的一位，那么n将小于等于9。结果处再补0即可。

这样优化之后，我们最多进行200*9次大数加法，便能得出最终的结果。

参考代码（最优解还是得完全用乘法模拟过程，但这里就不给出参考代码了）：

	string multiply(string num1, string num2) {
        if(num1=="0"||num2=="0")
            return "0";
            
        int i1=num1.size()-1,i2=num2.size()-1;
        string res;
        for(int i=0;i<num2.size();i++){
            int n=num2[num2.size()-i-1]-'0';
            string temp=_addstirng(num1,n);
            
            for(int j=i;j>0;j--){
                //补足最后的‘0’
                temp.push_back('0');
            }
            res=addStrings(res,temp);
        }
        return res;
    }

	string _addstirng(string num1, int n){
        string res;
        while(n){
            res=addStrings(res,num1);	//addString为模版的大数加法
            n--;
        }
        return res;
    }

谢谢你的阅读！