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最新推荐文章于 2024-07-25 16:30:00 发布

原创最新推荐文章于 2024-07-25 16:30:00 发布 · 267 阅读

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最大权闭合子图

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本文深入探讨了网络流算法中的最大权闭合子图问题，通过具体题目解析，介绍了如何使用最小割方法解决涉及物品选择和组合价值的问题。特别讨论了物品分类的额外代价处理技巧，提供了详细的代码实现。

题目

给你一个包含0-9的序列，如果你选择了这个序列的第i位和第j为，那么你能得到w[i][j]+w[j][i]的收益，然后对于你选择的那些数字是有一定的花费的，花费为a[i]*(k-1)+b[i],a[i]和b[i]是数字i的两个参数，k代表数字i选了多少次。

题解

其实就是最大权闭合子图的变式。
顺便回顾了最大权闭合子图的写法。下面会用（u,v,上限）这种形式表示建边。
一般是用于，需要付出代价选每个物品，某些物品凑一起组合可以产生一定价值。
方法是最小割。先假设拿到所有的价值，不付出代价，建立类似二分图，左边一排是物品，右边是组合，先（当前组合所需每个物品，组合，INF）然后（S，每个物品，物品代价）（每个组合，T，组合收益）
答案=所有价值-最小割
如果最小割中，某个物品与S的边被割了，说明选了这个物品，付出了代价，某个组合与T的边被割了，说明这个组合没有凑成，这个价值没有拿到。

然而在此题中有变式，物品被分为几类，第一次拿某类物品需要付出额外代价。也就是只要拿了这类物品就需要付出一个代价。可以给每类一个节点，（S，类节点，对应代价）（*），（类节点，所有该类物品，INF），可以发现，如果选了该类某个物品，那么（ *）边必然会被割掉，因为不割会出现一条显然的增广路，并且也不会影响物品单独的代价。

代码

可能有同学看不懂我的语言。。我贴一下建边的代码，Dinic的板子就不帖了。
啊。。这个高亮有点亮

#define rep(i,x,y) for(int i=x;i<=y;++i)

		int n,ans=0;cin>>n;
		scanf("%s",s+1);
		rep(i,0,9) scanf("%d%d",a+i,b+i);
		rep(i,1,n) rep(j,1,n) {
			scanf("%d",w[i]+j);
			if(i!=j) ans+=w[i][j];
		}
		S=n*n+11,T=S+1;
		rep(i,1,n) add_edge(S,i,a[s[i]-'0'],0);

		int cur=n+1;
		rep(i,1,n) rep(j,1,n) if(i!=j){
			add_edge(i,cur,INF,0);
			add_edge(j,cur,INF,0);
			add_edge(cur,T,w[i][j],0);
			++cur;
		}
		rep(i,1,n) add_edge(n*n+s[i]-'0'+1,i,INF,0);
		rep(i,0,9) add_edge(S,n*n+i+1,b[i]-a[i],0);
		int mf=MF();
		printf("Case #%d: %d\n",++kase,ans-mf);