趣学算法-2.3阿里巴巴与四十大盗——背包问题

有一天，阿里巴巴赶着一头毛驴上山砍柴。砍好柴准备下山时，远处突然出现一股烟尘，弥漫着直向上空飞扬，朝他这儿卷过来，而且越来越近。靠近以后，他才看清原来是一支马队，他们共有四十人，一个个年轻力壮、行动敏捷。一个首领模样的人背负沉重的鞍袋，从丛林中一直来到那个大石头跟前，喃喃地说道：“芝麻，开门吧！”随着那个头目的喊声，大石头前突然出现一道宽阔的门路，于是强盗们鱼贯而入。阿里巴巴待在树上观察他们，直到他们走得无影无踪之后，才从树上下来。他大声喊道：“芝麻，开门吧！”他的喊声刚落，洞门立刻打开了。他小心翼翼地走了进去，一下子惊呆了，洞中堆满了财物，还有多得无法计数的金银珠宝，有的散堆在地上，有的盛在皮袋中。突然看见这么多的金银财富，阿里巴巴深信这肯定是一个强盗们数代经营、掠夺所积累起来的宝窟。为了让乡亲们开开眼界，见识一下这些宝物，他想一种宝物只拿一个，如果太重就用锤子凿开，但毛驴的运载能力是有限的，怎么才能用驴子运走最大价值的财宝分给穷人呢？
阿里巴巴陷入沉思中……

2.3.1问题分析

假设山洞中有n种宝物，每种宝物有一定重量w和相应的价值v，毛驴运载能力有限，只能运走m重量的宝物，一种宝物只能拿一样，宝物可以分割。那么怎么才能使毛驴运走宝物的价值最大呢？
我们可以尝试贪心策略：
（1）每次挑选价值最大的宝物装入背包，得到的结果是否最优？
（2）每次挑选重量最小的宝物装入，能否得到最优解?
（3）每次选取单位重量价值最大的宝物，能否使价值最高？
思考一下，如果选价值最大的宝物，但重量非常大，也是不行的，因为运载能力是有限的，所以第一种策略舍弃；如果选重量最小的物品装入，那么其价值不一定高，所以不能在总重限制的情况下保证价值最大，第二种策略舍弃；而第三种是每次选取单位重量价值最大的宝物，也就是说每次选择性价比（价值/重量）最高的宝物，如果可以达到运载重量m，那么一定能得到价值最大。
因此采用第三种贪心策略，每次从剩下的宝物中选择性价比最高的宝物。

2.3.2算法设计

（1）数据机构及初始化。将n种宝物的重量和价值存储到类Three（包含重量、价值、性价比3个成员）中，同时求出每种宝物的性价比也存储在对应的类Three中，将其按照性价比从高到低排序。采用jiazhi来存储毛驴能够运走的最大值，初始化为0。用zhongliang存储已装宝物的重量
（2）根据贪心策略，按照性价比从大到小选取宝物，直到达到毛驴的运载能力。每次选择性价比高的物品，判断是否小于m（毛驴的承载能力），如果小于m，则放入，jiazhi（已放入物品的价值）加上当前宝物的价值，zhongliang加上当前宝物的重量；如果不小于m，则取该宝物的一部分 (m-zhongliang) * i.per（当前背包剩余重量*宝物的单位价值），程序结束。zhongliang等于m，则jiazhi得到最大值。

2.3.3 完美图解

假设现有一批宝物，价值和重量如表2-3所示，毛驴运载能力m=30，那么怎么装入最大价值的物品？

（1）因为贪心策略师每次选择性价比（价值/重量）高的宝物，可以按照性价比降序排序，排序后如表2-4所示。

（2）按照贪心策略，每次选择性价比高的宝物放入：
第一次选择宝物2，剩余容量30-2=28，目前装入最大价值为8
第二次选择宝物10，剩余容量28-5=23，目前装入最大价值为8+15=23
第三次选择宝物6，剩余容量23-8=15，目前装入最大价值为23+20=43
第四次选择宝物3，剩余容量15-9=6，目前装入最大价值为43+18=61
第五次选择宝物5，剩余容量6-5=1，目前装入最大价值为61+8=69
第六次选择宝物8，发现上次处理完时剩余容量为1，二8号宝物重量为4，无法全部放入，那么可以采用部分装入的形式，装入一个重量单位，因为8号保护的单位重量价值为1.5，因此放入价值1*1.5=1.5，你也可以认为装入了8号宝物的1/4，目前装入最大价值为69+1.5=70.5，剩余容量为0
（3）构造最优解
把这些放入的宝物序号组合在一起，就得到了最优解（2，10，6，3，5，8），其中最后一个宝物为部分装入（装了8号财宝的1/4），能够装入宝物的最大价值为70.5

2.3.4 伪代码详解

（1）数据结构定义
根据算法设计中的数据结构，我们首先定义一个类Three：

class Three:
    def __init__(self, weight, value, per):
        self.weight = weight  # 每个宝物的重量
        self.value = value  # 每个宝物的价值
        self.per = per  # 性价比

（2）性价比排序
我们可以利用python中的排序函数sort，对宝物的性价比从大到小（非递增）排序。
在本例中我们采用类形式存储，因此采用自定义排序函数的方法实现宝物性价比低降序排序：

list_baowu.sort(key=lambda x: x.per, reverse=True)  # 根据per逆序排序

（3）贪心算法求解

for i in list_baowu:
    if zhongliang + i.weight < m:
        shuliang += 1
        jiazhi += i.value
        zhongliang += i.weight
    else:
        jiazhi += (m-zhongliang) * i.per
        shuliang += (m-zhongliang)/i.weight
        zhongliang = m

2.3.5 实战演练

class Three:
    def __init__(self, weight, value, per):
        self.weight = weight  # 每个宝物的重量
        self.value = value  # 每个宝物的价值
        self.per = per  # 性价比
n, m = input("请输入宝物的总数量和毛驴的承载能力：").split()
n = int(n)
m = float(m)
list_baowu = []  # 创建实例对象的空列表
for i in range(n):
    w, v = map(int, input("请分别输入宝物的重量和价值").split())
    list_baowu.append(Three(w, v, v/w))  # 根据每个对象的属性创建对象
list_baowu.sort(key=lambda x: x.per, reverse=True)  # 根据per逆序排序
shuliang = 0  # 可以装的宝物的数量
zhongliang = 0   # 已装的重量
jiazhi = 0  # 已装入的价值
for i in list_baowu:
    # print(i.per)
    if zhongliang + i.weight < m:
        shuliang += 1
        jiazhi += i.value
        zhongliang += i.weight
    else:
        jiazhi += (m-zhongliang) * i.per
        shuliang += (m-zhongliang)/i.weight
        zhongliang = m
print("Maxinum value = %.2f" % jiazhi)

2.3.6算法分析及优化拓展

1.算法复杂度分析

（1）时间复杂度：该算法的时间主要耗费在将宝物按照性价比排序上，采用的是快速排序，算法时间复杂度为O(nlogn)。
（2）空间复杂度：空间主要耗费在存储宝物的性价比，空间复杂度为O(n)。

2.算法优化拓展

那么想一想，如果宝物不可分割，贪心算法是否能得到最优解?
假定物品的重量和价值已知，如表2-5所示，最大运载能力为10.利用贪心算法会得到怎样的结果？

如果我们采用贪心算法，先装性价比高的物品，且物品不能分割，剩余容量如果无法再装入剩余的物品，不管还有没有运载能力，算法都会结束。那么我们选择的物品为1和2，总价值为31.但实际上我们如果选择物品2和3，正好达到运载能力，得到的最大价值为34。也就是说，在物品不可分割、没法装满的情况下，贪心算法并不能得到最优解，仅仅是最优解的近似解。
物品可分割的装载问题我们称为背包问题，物品不可分割点装载问题我们称之为0-1背包问题。
想一想，2.3节中加勒比海盗船问题为什么在没有装满的情况下，仍然是最优解，而0-1背包问题在没装满的情况下有可能只是最优解的近似解？

# 0-1背包问题待补充
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