最优矩阵链乘（表达式上的动态规划）

最新推荐文章于 2024-05-30 22:04:29 发布

creator平

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本文探讨了在线性代数中矩阵链乘法的优化问题，通过动态规划算法找到最小计算量的乘法顺序，避免了不必要的计算浪费。文章详细解释了状态转移方程及其求解过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

问题描述

在线性代数里，我们都学过矩阵的乘法。矩阵的乘法不满足分配律，但是满足结合律，因此（A x B）x C 与 A x（B x C）的运算结果是一样的，但是中间的运算量却可能不一样。

例如：假设A、B、C矩阵分别是 2 x 3、3 x 4、4 x 5 的，则（A x B）x C 的运算量是 2 x 3 x 4 + 2 x 4 x 5 = 64，但是 A x（B x C）的运算量是 3 x 4 x 5 + 2 x 3 x 5 = 90。（想想运算量为什么是这么计算的。）显然第一种计算方法比较节省计算量。

现在考虑下面的问题：给出n个矩阵组成的序列，设计一种方法，把他们按照一定的顺序依次乘起来（你也可以理解为不断地加括号），是的总的计算量尽量小。假设第i个矩阵 Ai 是pi-1 X pi的。

思路：

大区间需要小区间，设dp[i][j]为第i个矩阵到第j个矩阵的最优解，则状态转移方程为dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k][j]+A[i-1]*A[k]*A[j]

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int M=110;
int A[M],dp[M][M];
int solve(int l,int r)
{
    if(l==r) return 0;
    if(dp[l][r]) return dp[l][r];
    int ans=0x3f3f3f3f;
    for(int i=l;i<r;i++)
    {
        ans=min(ans,solve(l,i)+solve(i+1,r)+A[l-1]*A[i]*A[r]);
    }
    return dp[l][r]=ans;
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&A[i]);
    }
    printf("%d\n",solve(1,n));
}