P4224 [清华集训2017]简单数据结构 题解

（本文是基于队爷 @s_r_f 所写题解的完善和补充）

可以发现，如果我们暴力地枚举一个数的因数或倍数，时间复杂度是可接受的。

对于前者，单次复杂度为 $O(\sqrt{n})$；对于后者，由于题目保证了 $C\le 10$，所以单次的均摊复杂度应为调和级数 $O(\ln n)$。

所以，我们可以考虑直接模拟题意中的操作。

---

首先，我们设 $f_i$ 为以 $i$ 开头的最长上升倍数子序列的长度。同时，为了方便统计答案的第二项，我们再设一个 $fcn{t}_i$，表示有多少个 $j$ 满足 $f_j=i$。

有了以上两个数组，我们就可以从小到大枚举 $i$，当 $fcn{t}_i$ 不为 $0$ 时，我们就同时找到了答案的第一项和第二项，一举两得。

没错！这样做的理论复杂度是 $O(nq)$ 的，会超时。但这真的是实际的复杂度吗？

注意题目中有这样一句话：保证在任意时刻序列 $A$ 非空，其中的元素互不相等。

也就是说，就算是最坏的情况，这个子序列的长度也是不超过 $O({\log }_{2}m)$ 的，所以上述做法的实际复杂度为：$O(q{\log }_{2}m)$。

---

解决完了询问，我们再看看四个操作中哪个最好想。

显然是在序列左端进行的两个操作。究其原因，我们先来推推 $f_i$ 的转移方程式：

考虑枚举 $i$ 的倍数 $j$，如果 $j$ 存在，设 $j$ 的位置为 $po{s}_j$，则有：
fi=max⁡i∣j,posj>0{ fj+1} f_i = \max_{i | j, pos_j > 0}\{f_j + 1\} f