动态DP 学习笔记

前言

温馨提示：本文将会讲述树链剖分（会提到 LCT 的做法）和全局平衡二叉树两种方法，所以强烈建议两种方法都想学习的读者仔细阅读完本文！（真不要脸）

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动态 DP，它的模板题之所以和动态树分治放在一起，是因为它们有两个共同特点：

1. 它们在没有修改时都是用于维护树上信息的
2. 它们都是带修改的，即动态的

所以，动态 DP 一般是用于解决动态维护树上信息的问题

这类问题最初只是可爱的树形 DP，却被丧心病狂的出题人套上了修改操作，褪去了原本善良的模样

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那么，在学习动态 DP 之前，你需要掌握以下前置知识：

1. DP
2. 矩阵乘法（以及其对 DP 的优化）
3. 树链剖分（包括链上的线段树操作）
4. 二叉查找树（亦称二叉排序树）

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阅读完以上内容，我们就开始吧！

正文

放上模板题（简单版）：P4719 【模板】“动态 DP”&动态树分治

我们先来考虑这样一件事情：如果没有修改，这道题你应该怎么做？

（大概是人人都会吧，要不然你也不会点进来看到这句话）

我们可以设 $f_{u,0/1}$ 表示如果点 $u$ 不选/选，该子树的答案是多少

那么显然有转移方程：（点 $v$ 为点 $u$ 的子节点，$va{l}_u$ 为点 $u$ 的点权）
$$\begin{array}{rl}& f_{u,0}=\sum \max (f_{v,0},f_{v,1})\\ & f_{u,1}=va{l}_u+\sum f_{v,0}\end{array}$$
临界情况显然：对于叶子节点 $l$，有 $f_{l,0}=0,f_{l,1}=va{l}_l$

好，现在我们已经会 $m=0$ 的部分分了！（然而这题并没有给，太不照顾作者这样的蒟蒻了）

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接下来我们考虑带修

可以发现单点的修改操作最多只会修改一条链上的 $f$ 值，所以我们可以想到用树链剖分维护树上的信息

为什么用树链剖分？

1. 众所周知，一个点到根节点的路径上，至多只会经过 ${\log }_n$ 数量级的重链，这就为时间复杂度提供了保证
2. 众所周知，重链的底端都是从叶子节点，那么做 DP 时我们不需要花额外的力气去为其设置初始状态，同时也保证了树形结构自底向上转移的优美性
3. 众所周知，树链剖分的优美性在于破树为序，所有的操作在维护的 DFS 序上进行，因此我们可以很方便地用修改序列的方式修改树

That’s why I choose 树链剖分！

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为了迎合轻重儿子的设定，我们再设一个 $g_{u,0/1}$，其中 $g_{u,0}$ 表示点 $u$ 的所有轻儿子可选可不选~~（任其生死）~~的轻子树答案之和，$g_{u,1}$ 表示点 $u$ 的所有轻儿子都不选的轻子树答案之和（下面的转移方程中为了保持结构优美性，把 $va{l}_u$ 加到了 $g_{u,1}$ 中）

所以状态转移方程就可以更新为：（此时点 $v$ 为点 $u$ 的重儿子）
$$\begin{array}{rl}{f}_{u,0}& =g_{u,0}+\max (f_{v,0},f_{v,1})\\ f_{u,1}& =g_{u,1}+f_{v,0}\end{array}$$
（g 临界情况同 f）

结构是不是优美许多了？至少不带求和符号了

那么，如果我们能够把 DP 结构化，使得我们每次修改只是修改一个地方的转移状态而不关心它的 DP 值具体修改成了什么，那么我们就能够用树剖的链上修改和查询（实质是线段树的单点修改和区间查询）来完成这些操作

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说到 DP 结构化，就不得不提到一个东西——矩阵乘法

既然第二维有 $0/1$ 两种状态，那我们设出这个状态矩阵：
[ f u , 0 f u