最长上升子序列-LIS

最新推荐文章于 2025-04-27 21:25:45 发布

原创最新推荐文章于 2025-04-27 21:25:45 发布 · 193 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

dp 专栏收录该内容

2 篇文章

订阅专栏

动态规范：

分析过程来自 http://www.cnblogs.com/GodA/p/5180560.html 特此借鉴。

我们都知道，动态规划的一个特点就是当前解可以由上一个阶段的解推出，由此，把我们要求的问题简化成一个更小的子问题。子问题具有相同的求解方式，只不过是规模小了而已。最长上升子序列就符合这一特性。我们要求n个数的最长上升子序列，可以求前n-1个数的最长上升子序列，再跟第n个数进行判断。求前n-1个数的最长上升子序列，可以通过求前n-2个数的最长上升子序列……直到求前1个数的最长上升子序列，此时LIS当然为1。

　　让我们举个例子：求 2 7 1 5 6 4 3 8 9 的最长上升子序列。我们定义d(i) (i∈[1,n])来表示前i个数以A[i]结尾的最长上升子序列长度。

　　前1个数 d(1)=1 子序列为2；

　　前2个数 7前面有2小于7 d(2)=d(1)+1=2 子序列为2 7

　　前3个数在1前面没有比1更小的，1自身组成长度为1的子序列 d(3)=1 子序列为1

　　前4个数 5前面有2小于5 d(4)=d(1)+1=2 子序列为2 5

　　前5个数 6前面有2 5小于6 d(5)=d(4)+1=3 子序列为2 5 6

　　前6个数 4前面有2小于4 d(6)=d(1)+1=2 子序列为2 4

　　前7个数 3前面有2小于3 d(3)=d(1)+1=2 子序列为2 3

　　前8个数 8前面有2 5 6小于8 d(8)=d(5)+1=4 子序列为2 5 6 8

　　前9个数 9前面有2 5 6 8小于9 d(9)=d(8)+1=5 子序列为2 5 6 8 9

所以状态转移方程 d[ i ] = max{d[ i ] ,d[ j ]+1} 此处F[ j ] 表示

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()
{
    int n;
    int a[1000];
    int d[1000];
    while(cin>>n,n)
    {
        int maxlen=-1e5;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            cin>>a[i];
    //由此，把我们要求的问题简化成一个更小的子问题。
    //子问题具有相同的求解方式，只
    //不过是规模小了而已。
    //最长上升子序列就符合这一特性。
    //我们要求n个数的最长上升子序列，
    //可以求前n-1个数的最长上升子序列，
    //再跟第n个数进行判断。
    //求前n-1个数的最长上升子序列
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            d[i]=1;
            for(int j=1;j<i;j++)  //扫描 第n个数 前面的
            {
                if(a[i]>a[j])  //找到一个比它小的  进行状态转移
                {
                    d[i] = max(d[i],d[j]+1);
                }
            }
           maxlen=max(maxlen,d[i]);
        }
        cout<<maxlen<<endl;
    }
    return 0;
}
//时间复杂度O(n^2)

这个算法的时间复杂度为〇(n²)，并不是最优的算法。在限制条件苛刻的情况下，这种方法行不通。那么怎么办呢！有没有时间复杂度更小的算法呢？说到这里了，当然是有的啦！还有一种时间复杂度为〇(nlogn)的算法，下面就来看看。

二分+贪心：

我们再举一个例子：有以下序列A[]=3 1 2 6 4 5 10 7，求LIS长度。

　　我们定义一个B[i]来储存可能的排序序列，len为LIS长度。我们依次把A[i]有序地放进B[i]里。（为了方便，i的范围就从1~n表示第i个数）

　　A[1]=3，把3放进B[1]，此时B[1]=3，此时len=1，最小末尾是3

　　A[2]=1，因为1比3小，所以可以把B[1]中的3替换为1，此时B[1]=1，此时len=1，最小末尾是1

　　A[3]=2，2大于1，就把2放进B[2]=2，此时B[]={1,2}，len=2

　　同理，A[4]=6，把6放进B[3]=6，B[]={1,2,6}，len=3

　　A[5]=4，4在2和6之间，比6小，可以把B[3]替换为4，B[]={1,2,4}，len=3

　　A[6]=5，B[4]=5，B[]={1,2,4,5}，len=4

　　A[7]=10，B[5]=10，B[]={1,2,4,5,10}，len=5

　　A[8]=7，7在5和10之间，比10小，可以把B[5]替换为7，B[]={1,2,4,5,7}，len=5

　　最终我们得出LIS长度为5。但是，但是！！这里的1 2 4 5 7很明显并不是正确的最长上升子序列。是的，B序列并不表示最长上升子序列，它只表示相应最长子序列长度的排好序的最小序列。这有什么用呢？我们最后一步7替换10并没有增加最长子序列的长度，而这一步的意义，在于记录最小序列，代表了一种“最可能性”。假如后面还有两个数据8和9，那么B[6]将更新为8，B[7]将更新为9，len就变为7。读者可以自行体会它的作用。

因为在B中插入的数据是有序的，不需要移动，只需要替换，所以可以用二分查找插入的位置，那么插入n个数的时间复杂度为〇(logn) 这样总时间复杂度是不是就是O(nlogn).

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    const int INF=0x7f7f7f7f;
    int n;
    int len=1;
    int a[1000];
    int b[1000];
    while(cin>>n,n)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            cin>>a[i];
            b[i] = INF;
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            int next=lower_bound(b+1,b+n+1,a[i])-b;  //二分插入位置
            b[next] = a[i];
            len = max(next,len);
        }
        /*for(int j=1;j<=len;j++)
            cout<<b[j]<<' '<<endl;*/
       cout<<len<<endl;
    }
}