2017Nowcoder Girl E - 勇敢的妞妞（状态压缩+dp）

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在牛家庄遭受外星人侵袭的背景下，妞妞需从N件装备中选择K件以最大化战斗力。通过动态规划算法，考虑装备间属性影响，计算最优装备组合以提升妞妞的战斗能力。

题目描述

美丽的牛家庄受到了外星人的侵略, 勇敢的妞妞要上战场抵御侵略。

在妞妞上战场前, 村长牛牛给了妞妞N件装备, 妞妞需要选择其中的K件,装备在身上提升自己的战斗力。每件装备有5种属性增幅值,对于第i件装备它的属性增幅值为(ri1, ri2, ri3, ri4, ri5), 分别代表该装备对不同的属性值增幅。

当妞妞装备多件装备的时候,由于装备之前会互相影响, 对于每种属性值的增幅并不是所有装备该属性值之和, 而是该种属性值下所有装备中最大的属性值。而妞妞最终增加的战斗力为这5种属性值增幅之和。

妞妞一定要保卫牛家庄, 所以她希望她能提升尽可能多的战斗力, 请你帮帮她计算她最多能增加多少战斗力。

输入描述:

输入包括N+1行,

第一行包括两个正整数N和K(1 <= N <= 10000, 1 <= K <= N), 分别表示一共有的装备数量和妞妞需要选择的装备数量。

接下来的N行,每行5个整数ri1, ri2, ri3, ri4, ri5 (0 <= ri1, ri2, ri3, ri4, ri5 <= 10000)表示第i件装备的5种属性值增幅。

输出描述:

输出一个整数,表示妞妞最多能增加的战斗力。

示例1

输入

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4 2
30 30 30 30 0
50 0 0 0 0
0 50 0 50 10
0 0 50 0 20

输出

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说明

妞妞要从4件装备中选取2件, 如果妞妞选择第1件和第3件装备,那么增加的战斗力为30 + 50 + 30 + 50 + 10 = 170, 这是最大的方案。

思路：

将五个属性值压缩成2^5个状态，即

0 0 0 0 0;

0 0 0 0 1;

0 0 0 1 0;

0 0 0 1 1

……

1 1 1 1 1

意义为，1对应属性为有效属性（和最大），如00011为第1和第2属性的和是最大值的物品；

令dp[1<<5][5]（取i状态的 j个装备）；

如：其中dp[3][1] ；意义为状态 0 0 0 1 1 只取第1和第2属性的和最大的一个装备

初始化1个装备的所有状态值。

两个装备的状态通过两个一个装备的状态和得到。

即：两个一个装备只取属性 1 1 1 0 0 & 0 0 0 1 1 可得到五个属性 1 1 1 1 1 （要保证没有属性重复）

那么上述可表示为 dp[31][2]=max(dp[31][2],dp[28][1]+dp[3][1])

（转移方程为dp[i|j][v]=max(dp[i|j][v],dp[i][v-1]+dp[j][1] ,其中v为装备数量（获得状态i的(v-1)个装备数量+获得状态j的1个装备））

求最后v个装备可获得的最大值

【因为dp学得不好，比较难缕思路，多多包涵】

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=10010;
int n,k;
int a[maxn][5];
int main()
{
    while(scanf("%d%d",&n,&k)!=EOF)
    {
        memset(a,0,sizeof(a));
        int r[5]={0};
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            scanf("%d%d%d%d%d",&a[i][0],&a[i][1],&a[i][2],&a[i][3],&a[i][4]);
            for(int j=0;j<5;j++)r[j]=max(r[j],a[i][j]);
        }
        if(k>=5)
        {
            printf("%d\n",r[0]+r[1]+r[2]+r[3]+r[4]);
            continue;
        }
        int sum,ans=0;
        int dp[1<<5][5]={0};
        dp[0][0]=0;
        for(int i=0;i<32;i++)//第i种状态 0 0 0 0 0;0 0 0 0 1;0 0 0 1 0;0 0 0 1 1 …… 1 1 1 1 1
        {
            for(int j=0;j<n;j++)//第j个装备的
            {
                sum=0;
                for(int v=0;v<5;v++)//五个属性
                {
                    int s=1<<v;//将第(v+1)个属性置为1其余为0
                    //只有状态i中为1的位置才与s位与 不为0
                    if((i&s)!=0)
                    {
                        sum+=a[j][v];
                    }
                }
                //只有一个装备 取 只对应状态属性的属性和
                //如dp[1][1];  0 0 0 0 1 只去第一个属性和最大的 一个装备
                //dp[3][1]; 0 0 0 1 1 只取 第一和第二和属性和最大的 一个装备
                dp[i][1]=max(dp[i][1],sum);
            }
            ans=max(ans,dp[i][1]);
        }
        for(int v=2;v<=k;v++)
        {
            for(int i=0;i<32;i++)
            {
                for(int j=0;j<32;j++)
                {
                    if((i&j)==0) //i与j的状态 即没有同一种属性取两次
                    {
                        //两种状态相加后的 v个装备
                        dp[i|j][v]=max(dp[i|j][v],dp[i][v-1]+dp[j][1]);
                        ans=max(ans,dp[i|j][v]);
                    }
                }
            }
        }
        printf("%d\n",ans);

    }
}