事件的独立与常见的几种分布

一、事件的独立性

  1.1 两事件独立的定义

    若$P(B|A)=P(B)$，也即事件A是否发生对事件B无影响，两事件独立具体定义如下，若满足$P(AB)=P(A)P(B)$，则称事件A和B相互独立。若事件A和B相互独立，则也满足：$P(\overline{A}B)=P(\overline{A})P(B)$、$P(A\overline{B})=P(A)P(\overline{B})$、$P(\overline{A}\overline{B})=P(\overline{A})P(\overline{B})$

  1.2 独立与互斥的关系

    (1) 若事件A和B相互独立，则事件A的发生与否对B的发生无影响
    (2)若事件A和B互斥，则事件A和B不能同时发生，则$AB=\varnothing$且$P(B|A)=0$

  1.3 例题

    (1) 抛一枚硬币，将事件A记为第一次出现正面，事件B记为第二次出现正面，证明事件A和B相互独立。
    证明：抛一枚硬币可能情况如下所示：

正、正	正、反
反、正	反、反

    $P(A)=\frac{1}{2}$，$P(B)=\frac{1}{2}$，满足$P(AB)=P(A)P(B)$，因此事件A和事件B相互独立。
    备注：空集与任意事件即独立又互斥

二、常见的几种分布

  2.1 0-1分布(两点分布、伯努利分布)

X	0	1
概率	P	1-P

    记为$X\sim B(1,P)$

  2.2 二项分布

$$P(X=k)=C_n^k{P}^k(1-P{)}^{(n-k)}$$    记为$X\sim B(n,P)$
    注：实验独立重复做$n$次呈0-1分布的实验，求出现$X=k$的概率是多少？如，抛一枚硬币，将出现正面记为1，出现反面记为0，独立重复n次实验，求出现1的概率是多少？===>典型的二项分布
    例题：现有$N$件产品，$M$件次品，则正品数为$N-M$件，现从中有放回的抽取$n$件，若抽取的$n$件产品中次品数为$X$，求$X$的分布?
    解：根据给出条件可得该产品的次品率为$\frac{M}{N}$，则次品数$X\sim B(n,\frac{M}{N})$也即，
$$P(X=k)=C_n^k(M/N{)}^k(1-N/M{)}^{(n-k)})(k=0,1,..n)$$

   2.3 泊松分布

$$P(X=k)=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}(k=0,1,...)$$     记为$X\sim P(\lambda )$
    注：当实验次数$n$很大，$P$很小时，二项分布可以近似看作泊松分布。即，$X\sim B(n,P)\approx X\sim P(\lambda )$，其中$\lambda =np$。

   2.4 超几何分布

$$P(X=k)=\frac{C_M^k{C}_{N-M}^{n-k}}{C_N^n},k=0,1,...minM,n)$$    记为$X\sim H(N,n,M)$，其中$N$为产品总数，$n$为不放回抽取的个数，$M$为次品数。
    例题：现有$N$件产品，$M$件次品，则正品数为$N-M$件，现从中无放回的抽取$n$件，若抽取的$n$件产品中次品数为$X$，求$X$的分布?
    解：$P(X=k)=\frac{C_M^k{C}_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}$
    注：当次品率$\frac{M}{N}$很小时，也即N很大时，满足：${\lim }_{N\to +\infty }{C}_n^k(M/N{)}^k(1-N/M{)}^{(n-k)})=C_n^k(M/N{)}^k(1-N/M{)}^{(n-k)}$也即，当$N$很大时，不放回抽样近似于有放回抽样。

   2.5 几何分布

    独立重复实验，首次成功所需要的试验次数记为$X$，成功率为$P$，则$X$服从集合分布，记为
$$P(X=k)=(1-P{)}^{k-1}P$$
    注：上述分布满足以下性质：
      (1) 概率大于0，$P(X=k)\ge 0$
      (2) 归一性：$\sum _{k=1}^{n}P(X=k)=1$

三、参考文献

    1、四小时速成概率论