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#hdu #最短路 #dijkstra

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本文探讨了一个特定的矩阵寻径问题，通过分析条件限制，将问题转化为图论中的最短路径问题，并提出了一种改进的Dijkstra算法及SPFA算法来解决这一问题。文中详细解释了算法实现过程及核心思想。

Problem Description

Given a n*n matrix C_ij (1<=i,j<=n),We want to find a n*n matrix X_ij (1<=i,j<=n),which is 0 or 1.

Besides,X_ij meets the following conditions:

1.X₁₂+X₁₃+...X_1n=1
2.X_1n+X_2n+...X_n-1n=1
3.for each i (1<i<n), satisfies ∑X_ki (1<=k<=n)=∑X_ij (1<=j<=n).

For example, if n=4,we can get the following equality:

X₁₂+X₁₃+X₁₄=1
X₁₄+X₂₄+X₃₄=1
X₁₂+X₂₂+X₃₂+X₄₂=X₂₁+X₂₂+X₂₃+X₂₄
X₁₃+X₂₃+X₃₃+X₄₃=X₃₁+X₃₂+X₃₃+X₃₄

Now ,we want to know the minimum of ∑C_ij*X_ij(1<=i,j<=n) you can get.

Hint

For sample, X₁₂=X₂₄=1,all other X_ij is 0.

Input

The input consists of multiple test cases (less than 35 case).
For each test case ,the first line contains one integer n (1<n<=300).
The next n lines, for each lines, each of which contains n integers, illustrating the matrix C, The j-th integer on i-th line is C_ij(0<=C_ij<=100000).

Output

For each case, output the minimum of ∑C_ij*X_ij you can get.

分析：

从图的角度来看，条件一等价于点1仅有一个出度，条件二等价于点n仅有一个入度，条件三等价于点2到n-1每个点出度与入度相等。

对应了两种情况，一是从1到n求一个最短路，这必然满足条件。

还有一种情况是，如果图中1和n相当于是不连通的，即从1到n的代价太大。这是可以考虑一个包含1的环和一个包含n的环。

适当更改dijkstra算法：将始点直接相连的点的距离更新，dist[begin]=INF，然后开始循环，这样dist[begin]即为过begin的最小环的花费，其余点依旧是begin到各点的最短路。具体看代码。

事实上spfa算法也可以做类似的改造，将始点直接相连的点的距离更新并将这些全部加入队列，dist[begin]=INF，然后运行算法，也可以求得同样的结果，通话时也能处理负边和判断负环。

dijkstra代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define INF (1<<30)
#define min(x,y) (x<y?x:y)
int C[305][305],dist[305],n;
bool vis[305];
void dijkstra(int from,int to){
    for(int i=1;i<=n;++i){dist[i]=C[from][i];vis[i]=false;}
    dist[from]=INF;int u,val;
    for(int i=1;i<=n;++i){val=INF;u=0;
        for(int j=1;j<=n;++j){
            if(!vis[j]&&dist[j]<val){
                val=dist[j];u=j;
            }
        }
        if(u==0||u==to) break;
        vis[u]=true;
        for(int j=1;j<=n;++j){
            if(!vis[j]) dist[j]=min(dist[j],dist[u]+C[u][j]);
        }
    }
}
int main(){
    int loop1,loop2,ans;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){
        for(int i=1;i<=n;++i){
            for(int j=1;j<=n;++j) scanf("%d",&C[i][j]);
        }
        dijkstra(1,n);ans=dist[n];
        dijkstra(1,1);loop1=dist[1];
        dijkstra(n,n);loop2=dist[n];
        printf("%d\n",min(ans,loop1+loop2));
    }
    return 0;
}