Mobius反演方法

<更新提示>

前置知识：建议有一点$Dirichlet$卷积的基础，会线性筛求积性函数。本文可能会持续更新。

可以看我以前在博客园的博客。

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<正文>

0. 符号及约定

$1.$ $[P]$是指正则表达式，当$P$为$true$时，$[P]=1$，当$P$为$false$时，$[P]=0$。

$2.$ 约数个数函数定义为$\tau (n)={\sum }_{d|n}1$。

$3.$ 约数和函数定义为$\sigma (n)={\sum }_{d|n}d$。

$4.$ 元函数定义为$e(n)=[n=1]$。

$5.$ 恒等函数定义为$I(n)=1$。

$6.$ 单位函数定义为${ϵ}_k(n)=n^k$。

$7.$ 欧拉函数定义为$\phi (n)={\sum }_{i=1}^n[\gcd (i,n)=1]$。

$8.$ 设$n=\prod p_i^{c_i}$，则莫比乌斯函数定义为$\mu (n)=\{\begin{array}{ll}1& n=1\\ (-1{)}^k& \forall c_i=1\\ 0& \exists c_i>1\end{array}$。

$9.$ 对于数论函数$f$，若满足$\gcd (a,b)=1$时，有$f(ab)=f(a)f(b)$，则称函数$f$为积性函数。

$10.$ 对于两个函数$f,g$，定义他们的$dirichlet$卷积为：$(f\times g)(n)={\sum }_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$，函数$f,g$不必要是积性函数。

1. 欧拉筛法

前置知识里已经提到过，以下给出本文可能会使用的线性筛代码：

int flag[N],Prime[N],cnt;
inline void EularSieve(void)
{
   
    for (int i=2;i<=Lim;i++)
    {
   
        if ( !flag[i] ) Prime[++cnt] = i;
        for (int j=1;j<=cnt&&i*Prime[j]<=Lim;j++)
        {
   
            flag[ i*Prime[j] ] = true;
            if ( i % Prime[j] == 0 ) break;
        }
    }
}

这是最朴素的欧拉筛法，不过当我们要筛一些比较复杂的积性函数的时候，线性筛方程的推导可能会非常复杂。

因此我们考虑引入一种更好的线性筛法，目的是能够方便的筛出积性函数的值。

首先，我们注意到积性函数的性质：当$\gcd (a,b)=1$时，有$f(ab)=f(a)f(b)$。那么对于一个任意的正整数$n$，我们可以用算术基本定理进行分解：

$$n=\prod _{i=1}^k{p}_i^{c_i}$$

此时，任意的$i,j\in [1,k]$都满足$\gcd (p_i^{c_i},p_j^{c_j})=1$。那么我们就可以得到：

$$f(n)=f\left(\prod _{i=1}^k{p}_i^{c_i}\right)=\prod _{i=1}^{k}f(p_i^{c_i})$$

那么我们就有一个想法：利用定义求出积性函数$f$在所有素数幂出的取值，然后直接递推出所有函数值。

具体地说，可以这样递推：

f[1] = 1;
for (int i=2;i<=Lim;i++)
    if ( i == Pow[i] ) f[i] = calc(p[i],e[i]);
    else f[i] = f[i/Pow[i]] * f[Pow[i]];

其中$p[i]$代表数$i$的最小素因子，$e[i]$代表$i$的分解式中$p[i]$这个素因子的指数，$calc$就是求素数幂处取值的函数，而$Pow[i]=p[i{]}^{e[i]}$，，这样是不是就符合我们的要求了呢？

那么现在我们的问题就是如何求出$p,e,Pow$这三个数组，幸运的是，他们都可以在线性筛的过程中求。

根据欧拉筛法每次用一个数的最小素因子筛去这个合数，就可以更新这三个数组的值了。

代码如下：

int p[N],e[N],Pow[N],Prime[N],cnt;
inline void EularSieve(void)
{
   
    Pow[1] = p[1] = 1 , e[1] = 0;
    for (int i=2;i<=Lim;i++)
    {
   
        if ( p[i] == 0 )
            p[i] = Pow[i] = Prime[++cnt] = i , e[i] = 1;
        // 判定一个新素数
        for (int j=1;j<=cnt&&i*Prime[j]<=Lim;j++)
        {
   
            int Next = i * Prime[j];
            if ( p[i] == Prime[j] )
            {
   
                e[Next] = e[i] + 1;
                Pow[Next] = Pow[i] * Prime[j];
                // 有相同的素因子
                break;
            }
            else e[Next] = 1 , Pow[Next] = Prime[j];
            // 没有相同的素因子
        }
    }
    f[1] = 1;
    for (int i=2;i<=Lim;i++)
        if ( i == Pow[i] ) f[i] = calc(p[i],e[i]);
        else f[i] = f[i/Pow[i]] * f[Pow[i]];
}

2. $Dirichlet$卷积

2.1 $Dirichlet$卷积的性质

$1.$ 两个积性函数$f$和$g$的$dirichlet$卷积仍为积性函数。

证明：

设有两个积性函数$f$和$g$，则它们的$dirichlet$卷积为：

$$h=f\times g=\sum _{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$$

对于函数$h$则可以得到：

h ( x ) h ( y ) = ( ∑ d 1 ∣ x f ( d 1