本文详细介绍了常系数线性递推数列的概念，通过定理和引理阐述了数列解法，特别是特征方程在求解通项公式中的应用。并以斐波那契数列为实例，展示了如何利用特征方程求得数列的通项公式。
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1. 常系数线性递推数列
定义：由初值 A 1 = p 1 , A 2 = p 2 , . . . , A k = p k A_1=p_1,A_2=p_2,...,A_k=p_k A1=p1,A2=p2,...,Ak=pk，以及递推方程 A n = F ( A n − k , A n − k + 1 , . . . , A n − 1 ) A_n=F(A_{n-k},A_{n-k+1},...,A_{n-1}) An=F(An−k,An−k+1,...,An−1)构成的数列，我们称之为常系数线性递推数列，其中函数 F ( A n − k , A n − k + 1 , . . . , A n − 1 ) = q 1 A n − k + q 2 A n − k + 1 + . . . + q k A n − 1 F(A_{n-k},A_{n-k+1},...,A_{n-1})=q_1A_{n-k}+q_2A_{n-k+1}+...+q_kA_{n-1} F(An−k,An−k+1,...,An−1)=q1An−k+q2An−k+1+...+qkAn−1的系数 q q q均为常数。
例如， A n = 5 A n − 1 + 3 A n − 2 A_n=5A_{n-1}+3A_{n-2} An=5An−1+3An−2， B n = 1 2 B n − 1 − 4 B n − 2 B_{n}=\frac{1}{2}B_{n-1}-4B_{n-2} Bn=21Bn−1−4Bn−2，或者说斐波那契数列 f n = f n − 1 + f n − 2 f_n=f_{n-1}+f_{n-2}
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