BZOJ 4780 Usaco2017 Open Modern Art 2

该博客介绍了BZOJ 4780题目的详细解题过程。题目要求在限制每次涂色区间不交的情况下,确保每个颜色最多涂在一个区间内,询问完成涂色所需的最少轮数。解题关键在于,通过找出每种颜色涂色区间的最左和最右边界,构建合法的括号序列,其深度即为答案。

题目大意:给定一个序列,序列上每个点有一个颜色。每一轮可以选择一些没有交集的区间,将每个区间涂上一种颜色。要求全程每个颜色最多被涂一个区间,求最少涂多少轮

处理出每种颜色被涂的最左和最右的点lr,那么所有的lr构成一个合法的括号序列则合法。答案即括号序列的深度。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define M 100100
using namespace std;
int n,tot,ans;
int a[M],l[M],r[M];
pair<int,int> b[M<<1];
int main()
{
    cin>>n;
    memset(l,0x3f,sizeof l);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        l[a[i]]=min(l[a[i]],i);
        r[a[i]]=max(r[a[i]],i);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(l[i]!=0x3f3f3f3f)
        {
            b[++tot]=pair<int,int>(l[i],i);
            b[++tot]=pair<int,int>(r[i],i);
        }
    sort(b+1,b+tot+1);
    static int stack[M],top;
    static bool in_stack[M];
    for(int i=1;i<=tot;i++)
    {
        if(!in_stack[b[i].second])
        {
            stack[++top]=b[i].second;
            ans=max(ans,top);
            in_stack[b[i].second]=true;
        }
        else
        {
            if(stack[top]!=b[i].second)
                return cout<<-1<<endl,0;
            stack[top--]=0;
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}
题目描述 牛牛和她的朋友们正在玩一个有趣的游戏,他们需要构建一个有 $n$ 个节点的无向图,每个节点都有一个唯一的编号并且编号从 $1$ 到 $n$。他们需要从节点 $1$ 到节点 $n$ 找到一条最短路径,其中路径长度是经过的边权的和。为了让游戏更有趣,他们决定在图上添加一些额外的边,这些边的权值都是 $x$。他们想知道,如果他们添加的边数尽可能少,最短路径的长度最多会增加多少。 输入格式 第一行包含两个正整数 $n$ 和 $m$,表示节点数和边数。 接下来 $m$ 行,每行包含三个整数 $u_i,v_i,w_i$,表示一条无向边 $(u_i,v_i)$,权值为 $w_i$。 输出格式 输出一个整数,表示最短路径的长度最多会增加多少。 数据范围 $2 \leq n \leq 200$ $1 \leq m \leq n(n-1)/2$ $1 \leq w_i \leq 10^6$ 输入样例 #1: 4 4 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 1 5 输出样例 #1: 5 输入样例 #2: 4 3 1 2 1 2 3 2 3 4 3 输出样例 #22 算法 (BFS+最短路) $O(n^3)$ 我们把问题转化一下,假设原图中没有添加边,所求的就是点 $1$ 到点 $n$ 的最短路,并且我们已经求出了这个最短路的长度 $dis$。 接下来我们从小到大枚举边权 $x$,每次将 $x$ 加入图中,然后再次求解点 $1$ 到点 $n$ 的最短路 $dis'$,那么增加的最短路长度就是 $dis'-dis$。 我们发现,每次加入一个边都需要重新求解最短路。如果我们使用 Dijkstra 算法的话,每次加入一条边需要 $O(m\log m)$ 的时间复杂度,总的时间复杂度就是 $O(m^2\log m)$,无法通过本题。因此我们需要使用更优秀的算法。 观察到 $n$ 的范围比较小,我们可以考虑使用 BFS 求解最短路。如果边权均为 $1$,那么 BFS 可以在 $O(m)$ 的时间复杂度内求解最短路。那么如果我们只是加入了一条边的话,我们可以将边权为 $x$ 的边看做 $x$ 条边的组合,每次加入该边时,我们就在原始图上添加 $x$ 条边,边权均为 $1$。这样,我们就可以使用一次 BFS 求解最短路了。 但是,我们不得不考虑加入多条边的情况。如果我们还是将边权为 $x$ 的边看做 $x$ 条边的组合,那么我们就需要加入 $x$ 条边,而不是一条边。这样,我们就不能使用 BFS 了。 但是,我们可以使用 Floyd 算法。事实上,我们每次加入边时,只有边权等于 $x$ 的边会发生变化。因此,如果我们枚举边权 $x$ 时,每次只需要将边权等于 $x$ 的边加入图中,然后使用 Floyd 算法重新计算最短路即可。由于 Floyd 算法的时间复杂度为 $O(n^3)$,因此总的时间复杂度为 $O(n^4)$。 时间复杂度 $O(n^4)$ 空间复杂度 $O(n^2)$ C++ 代码 注意点:Floyd算法计算任意两点之间的最短路径,只需要在之前的路径基础上加入新的边构成的新路径进行更新即可。
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