BZOJ 2216 Poi2011 Lightning Conductor 动态规划

最新推荐文章于 2018-12-26 17:22:57 发布

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#BZOJ #BZOJ2216 #动态规划 #决策单调

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本文探讨了一种利用决策单调性解决复杂序列操作问题的方法，通过分析根号内平方差的增长特性，优化序列处理效率，并实现了一种适用于决策单调性问题的通用策略。该方法不仅简化了问题求解过程，还揭示了其在更广泛1D问题上的应用潜力。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意：给定一个序列 $a_i$ ，对于每一个 $i$ 求 $\lceil max\{ a_j+\sqrt{|i-j|}\}-a_i\rceil$

看了题解才知道是决策单调性。。。
那我这个做法可以算是乱搞了？
(似乎这个做法也可以拓展到所有满足决策单调性的1D1D上？)

显然我们可以做两遍，第一遍只考虑 $j<i$ ，第二遍只考虑 $j>i$
首先根号这东西有个性质。。。 $\sqrt n$ 的增长速度随 $n$ 的增大而减小。。(其实就是函数上凸)
这意味着什么呢？这意味着对于某对 $j<k$ 如果 $a_j+\sqrt{i-j}<a_k+\sqrt{i-k}$ 那么 $j$ 就再也没有用了。。。永世不得翻身你懂？
但是如果 $a_j+\sqrt{i-j}>a_k+\sqrt{i-k}$ 的话由于 $\sqrt{i-k}$ 的增长速度比 $\sqrt{i-j}$ 快所以还是可能存在某个时刻 $k$ 艹掉了 $j$ 。。。
那么我们可以开个set维护一个单调递减的决策队列。。。
对于决策队列中的每对点 $(j,k)$ ，二分找到 $k$ 艹掉 $j$ 的位置，在那个位置开个vector把点对 $(j,k)$ 塞进去，表示这一时刻 $k$ 艹掉了 $j$
然后DP的时候枚举 $i$ ，先维护一下单调队列，然后处理发生在这一时刻的事件 $(j,k)$ ，如果此时 $j$ 和 $k$ 都还在决策队列里，就用一路往前艹过去

感觉这个写法确实可以用于所有决策单调。。。新技能get√

#include <set>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define M 500500
using namespace std;

int n,a[M],_sqrt[M];

int f[M],g[M];

set<int> q;
vector<pair<int,int> > s[M]; 

int Bisection(int x,int y)//二分x在什么时候被y超过
{
    int l=y+1,r=n+1;
    while(r-l>1)
    {
        int mid=l+r>>1;
        if( a[x]+sqrt(mid-x) < a[y]+sqrt(mid-y) )
            r=mid;
        else
            l=mid;
    }
    return a[x]+sqrt(l-x) < a[y]+sqrt(l-y) ? l : r ;
}

void DP(int f[])
{
    int i;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        if( *q.begin()!=5 )
            ++i,--i;
        while( !q.empty() )
        {
            set<int>::iterator it=q.end();--it;
            if( a[*it]+sqrt(i-*it) < a[i] )
                q.erase(it);
            else
                break;
        }
        if( !q.empty() )
        {
            set<int>::iterator it=q.end();--it;
            s[Bisection(*it,i)].push_back(make_pair(*it,i));
        }
        q.insert(i);
        while( !s[i].empty() )
        {
            int x=s[i].back().first,y=s[i].back().second;
            s[i].pop_back();
            if( q.find(y)==q.end() )
                continue;
            set<int>::iterator it=q.find(x);
            if( it==q.end() )
                continue;
            while(1)
            {
                if( a[*it]+sqrt(i-*it) < a[y]+sqrt(i-y) )
                {
                    if( it==q.begin() )
                    {
                        q.erase(it);
                        break;
                    }
                    set<int>::iterator temp=it;it--;
                    q.erase(temp);
                }
                else
                {
                    s[Bisection(*it,y)].push_back(make_pair(*it,y));
                    break;
                }
            }
        }
        set<int>::iterator it=q.begin();
        f[i]=max(f[i],a[*it]+_sqrt[i-*it]-a[i]);
    }
}

int main()
{
    //freopen("pio.in","r",stdin);
    //freopen("pio.out","w",stdout);

    int i,j;
    cin>>n;
    for(i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);

    for(i=0;i*i<=n;i++)
        for(j=i*i+1;j<=(i+1)*(i+1)&&j<=n;j++)
            _sqrt[j]=i+1;

    DP(f);

    q.clear();
    for(i=1;i<=n+1;i++)
        s[i].clear();

    for(i=1;i<=n>>1;i++)
        swap(a[i],a[n-i+1]);

    DP(g);

    for(i=1;i<=n;i++)
        printf("%d\n",max(f[i],g[n-i+1]));

    return 0;

}