BZOJ 2021 Usaco2010 Jan Cheese Towers 动态规划

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本文介绍了一个完全背包问题的解决方法，通过将物品按特定条件排序并利用动态规划求解最大价值。文章给出了具体的代码实现，并解释了如何通过调整物品放置顺序来优化解决方案。

题目大意：完全背包，如果最顶端的物品重量 $\geq k$ ，那么下面的所有物品的重量变为原来的 $\frac45$
考虑一些物品装进背包，显然我要把所有重量大于 $\geq k$ 的物品中重量最小的那个放在最顶端，才能保证总重量最小
那么我们给物品排个序，第一键值为重量是否 $\geq k$ ( $\geq k$ 的放在前面)，第二键值为重量(从小到大)
然后依次加入背包，令 $f_i$ 表示没有重量 $\geq k$ 的物品放在最顶端时重量为 $i$ 的最大价值， $g_i$ 表示有重量 $\geq k$ 的物品放在最顶端是重量为 $i$ 的最大价值，DP即可
时间复杂度 $O(nT)$

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define M 1010
using namespace std;
int n,m,k;
pair<int,int> a[M];
long long f[M],g[M];
bool Compare(const pair<int,int> &a,const pair<int,int> &b)
{
    if(a.first!=b.first)
    {
        if( (a.first>=k)==(b.first>=k) )
            return a.first<b.first;
        return a.first>b.first; 
    }
    return a.second<b.second;
}
int main()
{
    int i,j;
    cin>>n>>m>>k;
    for(i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d%d",&a[i].second,&a[i].first);
    sort(a+1,a+n+1,Compare);
    memset(f,0xef,sizeof f);
    memset(g,0xef,sizeof g);
    f[0]=0;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        int temp=a[i].first/5*4;
        if(a[i].first>=k)
        {
            for(j=a[i].first;j<=m;j++)
                g[j]=max(g[j],f[j-a[i].first]+a[i].second);
        }
        else
        {
            for(j=a[i].first;j<=m;j++)
                f[j]=max(f[j],f[j-a[i].first]+a[i].second);
        }
        for(j=temp;j<=m;j++)
            g[j]=max(g[j],g[j-temp]+a[i].second);
    }
    long long ans=0;
    for(i=0;i<=m;i++)
    {
        ans=max(ans,f[i]);
        ans=max(ans,g[i]);
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}