洛谷P6599 「EZEC-2」异或【题解】

题目大意

有$T$组数据，每组数据给定两个$l,n\in \mathbb{N}\ast$,构造一个长为$l$,每个元素不超过$n$的数组
令他为$a$,要使
$$\sum _{i=1}^l\sum _{j=1}^{i-1}{a}_i\oplus a_j$$
最大，问最大值为多少

浅浅谈一下？

• 首先，我们肯定从那个式子入手，我们可以发现${\sum }_{i=1}^l{\sum }_{j=1}^{i-1}$这个东西，就是让一个数组里的每两个元素一一异或
• 于是，问题就转变成了你需要构造一个$a$数组，里面的每两个元素一一异或的值加起来最大
• 我们继续转化，发现异或就是把每个数变成二进制，进行运算的，所以我们就可以想象有一堆二进制数，他们现在要一一异或
• 我们来认识一下异或:$\oplus$
• 运算规则
• 只要不一样就是$1$,不一样就是$0$
• 例子：$01_{(2)}\oplus 11_{(2)}=10_{(2)}$
• 发现了什么？
• 只有两边各有一个$0$或$1$这一位才为$1$
• 我们再来认识一下位值
• 假设有一个$101_{(2)}$,它的十进制是什么？
• 是不是$4+1=5$?所以第三位$1$它的值就是$2^{3-1}=4$
• 我们归纳一下，如果一个二进制数，它的第$k$位是1，那么那一位贡献的值就是$2^{k-1}$
• 好啦，以上就是前置芝士

回到本题

• 既然我们吧那个式子转换成一堆二进制一一异或，我们就可以每一位每一位的看
• 假如现在有$l$个二进制数，我们单独看看第$k$位
• 假设第$k$位有$x$个$0$.那么第$k$位就有$l-x$个$1$
• 现在我们要看看这一堆$0$和$1$对原式有什么贡献
• 根据前置芝士，只有一个$0$和一个$1$才能有一个$1$
• 所以第$1$个$0$可以和其他$l-x$个$1$一一异或成为$l-x$个$1$
• 同理，第$2$个，第$3$个……都可以产生$l-x$个$1$
• 所以共可以产生$x\cdot (l-x)$个$1$,而第$k$个$1$贡献的值为$2^{k-1}$,所以总共贡献的值为
• $2^{k-1}\cdot x\cdot (l-x)$
• 所以,如果我们设$p$为$n$的二进制位数的话
  $$\sum _{i=1}^l\sum _{j=1}^{i-1}{a}_i\oplus a_j=\sum _{i=1}^p{2}^{i-1}\cdot x\cdot (l-x)$$
• 要使那个式子最大，首先要使$2^{i-1}\cdot x\cdot (l-x)$这个最大
• 我们发现$2^{i-1}$是常数，不看他，也就是要$x\cdot (l-x)$最大
• 假如你学过二次函数
  $$x\cdot (l-x)=-x^2+lx$$
• 该二次函数开口向下，有最大值
• 也就是当$x=-\frac{b}{2a}=\frac{-l}{-2}=\frac{l}{2}$时取最大值
• 这里要纠正一下，因为只有可能是整数，所以我们这里向下取整一下（和向上取整没区别）
• 原式就等于$\lfloor \frac{l}{2}\rfloor \cdot (l-\lfloor \frac{l}{2}\rfloor )$
• 于是我们就可以得到一个式子（注意，$\sum$具有结合律）
  $$\begin{array}{rl}& \sum _{i=1}^p{2}^{i-1}\cdot \lfloor \frac{l}{2}\rfloor \cdot (l-\lfloor \frac{l}{2}\rfloor )\\ =& \lfloor \frac{l}{2}\rfloor \cdot (l-\lfloor \frac{l}{2}\rfloor )\cdot \sum _{i=1}^p{2}^{i-1}\end{array}$$
• 对于${\sum }_{i=1}^p{2}^{i-1}$我们可以用等比数列的求和公式，它就变成了$2^p-1$
• 所以我们要求的就是
  $$\lfloor \frac{l}{2}\rfloor \cdot (l-\lfloor \frac{l}{2}\rfloor )\cdot 2^p-1$$
• 最后一个问题：$p$是什么？
• 我们立刻就会想到与$\log n$有关系，我们来手摸一下
• 如果是$8=1000_{(2)}$，$\log 8=3$，位数是$4$,所以我们要加一
• 再来一个$7=111_2$,$\log 7=\mathrm{2....}$,位数是$3$,所以我们要向下取整在加一
• 归纳一下
  $$p=\lfloor \log n\rfloor +1$$
• 于是代码就出来了

$\mathcal{C}ode$

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
#define int unsigned long long
const int MAXN = 5e5 + 7, mod = 1e9 + 7;

int T, n, l;

signed main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0); cout.tie(0);
	
	cin >> T;
	while (T--) {
		cin >> n >> l;
		if (n == 1) cout << 0 << endl;
		else cout << ((l / 2 * (l - l / 2)) % mod * ((int)pow(2, (int)log2(n) + 1) - 1)) % mod << endl;
	}
	return kkksc03;
}

完结撒花✿✿ヽ(°▽°)ノ✿