A1257. 男生女生(陶文博) 最大流+DP+容斥原理

最新推荐文章于 2021-07-02 08:29:30 发布

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分类专栏： My Code

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本文介绍了一种解决二分图最大团问题的方法，通过转化成补图的最大独立集问题，并进一步转化为最小点覆盖问题。接着利用最小边权覆盖的概念，结合流网络中的最小割算法求解。最后通过DP解决了选择方案数的问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

好题
首先要求的是一个二分图最大团，然后可以转化为补图的最大独立集，又因为最大独立集=n-最小点覆盖，我们可以转化为求补图的最小点覆盖也就是最小割。那么要使得男生尽量多，也就是补图中男生尽量少，可以将求最小点覆盖转化为求最小边权覆盖，即从 $S->$ 男生连边流量为 $100$ ，女生 $->T$ 连边流量位 $99$ ，这样跑出来会使得男生尽量少，且此时的最小边权覆盖的点数就等于最小点覆盖。
然后假设我们求出了男生 $x$ 个，女生 $y$ 个，且两两有边，可以抽象为一个 $x\times y$ 的方格，然后从方格中选出 $k$ 个点，使得至少每行每列都至少有一个点（行列建图的逆向应用）。这个问题我们考虑 $DP$ 来解决，令 $f_{a,b}$ 表示从 $a\times b$ 个格子中选出 $k$ 个的合法方案数。那么有以下转移方程：

f a, b = C k a \times b - \sum 1 \leq i \leq a, 1 \leq j \leq b, i! = a 或 j! = b f i, j \times C i a \times C j b

$f_{a,b}=C_{a\times b}^k-\sum_{1\leq i\leq a,1\leq j\leq b,i!=a或j!=b}f_{i,j}\times C_a^i\times C_b^j$
其实就是容斥一下，去除不合法的状态。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;

const int mod=19921228;
const int N=105;
const int M=30005;
const int inf=1000000007;
int n,m,K,T,cnt=1;
int head[N],cur[N],dis[N],q[N];
int next[M],list[M],key[M];
long long C[2505][2505],f[55][55];
bool a[55][55];

inline int read()
{
    int a=0,f=1; char c=getchar();
    while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') f=-1; c=getchar();}
    while (c>='0'&&c<='9') {a=a*10+c-'0'; c=getchar();}
    return a*f;
}

inline void insert(int x,int y,int z)
{
    next[++cnt]=head[x];
    head[x]=cnt;
    list[cnt]=y;
    key[cnt]=z;
}

inline bool BFS()
{
    memset(dis,-1,sizeof(dis));
    int t=0,w=1,x;
    q[1]=0; dis[0]=1;
    while (t<w)
    {
        x=q[++t];
        for (int i=head[x];i;i=next[i])
            if (key[i]&&dis[list[i]]==-1)
                dis[q[++w]=list[i]]=dis[x]+1;
    }
    return dis[T]!=-1;
}

int find(int x,int flow)
{
    if (x==T) return flow;
    int w,used=0;
    for (int i=cur[x];i;i=next[i])
        if (key[i]&&dis[list[i]]==dis[x]+1)
        {
            w=find(list[i],min(flow-used,key[i]));
            key[i]-=w; key[i^1]+=w; used+=w;
            if (key[i]) cur[x]=i;
            if (used==flow) return used;
        }
    if (!used) dis[x]=-1;
    return used;
}

inline void pre(int N)
{
    for (int i=0;i<=N;i++)
    {
        C[i][0]=1;
        for (int j=1;j<=i;j++)
            C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod;
    }
}

inline int dinic()
{
    int ans=0;
    while (BFS())
    {
        for (int i=0;i<=T;i++)
            cur[i]=head[i];
        ans+=find(0,inf);
    }
    return ans;
}

int main()
{
    n=read(); K=read(); m=read(); T=n<<1|1;
    memset(a,false,sizeof(a));
    for (int i=1;i<=m;i++)
        a[read()][read()]=true;
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=n;j++)
            if (!a[i][j])
                insert(i,j+n,inf),insert(j+n,i,0);
    for (int i=1;i<=n;i++)
        insert(0,i,100),insert(i,0,0);
    for (int i=1;i<=n;i++)
        insert(i+n,T,99),insert(T,i+n,0);
    int flow=dinic();
    int x=flow-flow/99*99,y=flow/99-x; x=n-x; y=n-y;
    pre(x*y);
    for (int i=1;i<=x;i++)
        for (int j=1;j<=y;j++)
        {
            f[i][j]=C[i*j][K];
            for (int k=1;k<=i;k++)
                for (int l=1;l<=j;l++)
                    if (k!=i||l!=j)
                        f[i][j]=(f[i][j]-f[k][l]*C[i][k]%mod*C[j][l]%mod+mod)%mod;
        }
    printf("%d %d\n%lld",x,y,f[x][y]);
    return 0;
}