4503: 两个串 FFT

最新推荐文章于 2018-11-26 20:24:04 发布

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本文介绍了一种基于FFT的高效字符串匹配算法，通过将目标串进行反转，并使用特定的数学公式来计算匹配的可能性。该方法利用了多项式乘法的快速傅里叶变换（FFT），能够快速找出源字符串中与目标字符串相匹配的所有子串位置。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

首先将 $t$ 串反写，然后用 $0$ 表示 $?$ ，用 $1..26$ 表示 $a..z$ 。
首先令

f k = \sum i + j = k (a i - b j) 2 \times a i \times b j

$f_k=\sum_{i+j=k}(a_i-b_j)^2\times a_i\times b_j$
可以发现若

fk=0 $f_k=0$ ，则

s[k−lent+1..k] $s[k-len_t+1..k]$ 可以和t的反串（其实就是一开始的正串）匹配成功。
然后我们只要快速求

fk $f_k$ 就行了。

f k = \sum a 3 i \times b j + \sum a i \times b 3 j - 2 \sum a 2 i \times b 2 j

$f_k=\sum a_i^3\times b_j+\sum a_i\times b_j^3-2\sum a_i^2\times b_j^2$
然后FFT求出三个卷积看看是否为0就可以了。
（最近写代码越来越喜欢空行了smg

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;

const double PI=acos(-1);
const int N=100005;
int n,len,lem;
int ans[N],ans1[N],ans2[N],ans3[N],A[N],B[N];
int rev[N<<2];
char s[N],t[N];
struct C
{
    double real,i;
    C (double a=0,double b=0) {real=a,i=b;}
    C operator + (C a) {return C(real+a.real,i+a.i);}
    C operator - (C a) {return C(real-a.real,i-a.i);}
    C operator * (C a) {return C(real*a.real-i*a.i,real*a.i+i*a.real);}
};
C a[N<<2],b[N<<2],c1[N<<2],c2[N<<2],c3[N<<2];

inline void FFT(C x[],int T)
{
    for (int i=0;i<n;i++)
        if (rev[i]<i) swap(x[rev[i]],x[i]);
    for (int i=2;i<=n;i<<=1)
    {
        C wn(cos(2*PI/i),T*sin(2*PI/i));
        for (int j=0;j<n;j+=i)
        {
            C t,tmp,w(1,0);
            for (int k=0;k<i>>1;k++)
            {
                tmp=x[j+k];
                t=w*x[j+k+(i>>1)];
                x[j+k]=tmp+t;
                x[j+k+(i>>1)]=tmp-t;
                w=w*wn;
            }
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%s",s);
    scanf("%s",t);
    len=strlen(s); lem=strlen(t);

    int m=len<<1; n=1;
    while (n<m) n<<=1;
    for (int i=0;i<n;i++)
        rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)?n>>1:0);

    for (int i=0;i<len;i++) 
        A[i]=s[i]-'a'+1;
    for (int i=0;i<lem;i++)
        B[i]=(t[lem-i-1]=='?')?0:t[lem-i-1]-'a'+1;

    for (int i=0;i<len;i++)
        a[i]=A[i]*A[i]*A[i];
    for (int i=0;i<lem;i++)
        b[i]=B[i];
    FFT(a,1); FFT(b,1);
    for (int i=0;i<n;i++)
        c1[i]=a[i]*b[i];
    FFT(c1,-1);
    for (int i=0;i<len;i++)
        ans1[i]=(int)(c1[i].real/(double)n+0.5);

    memset(a,0,sizeof(a));
    memset(b,0,sizeof(b));
    for (int i=0;i<len;i++)
        a[i]=A[i];
    for (int i=0;i<lem;i++)
        b[i]=B[i]*B[i]*B[i];
    FFT(a,1); FFT(b,1);
    for (int i=0;i<n;i++)
        c2[i]=a[i]*b[i];
    FFT(c2,-1);
    for (int i=0;i<len;i++)
        ans2[i]=(int)(c2[i].real/(double)n+0.5);

    memset(a,0,sizeof(a));
    memset(b,0,sizeof(b));
    for (int i=0;i<len;i++) 
        a[i]=A[i]*A[i];
    for (int i=0;i<lem;i++)
        b[i]=B[i]*B[i];
    FFT(a,1); FFT(b,1);
    for (int i=0;i<n;i++)
        c3[i]=a[i]*b[i];
    FFT(c3,-1);
    for (int i=0;i<len;i++)
        ans3[i]=(int)(c3[i].real/(double)n+0.5);

    for (int i=lem-1;i<len;i++)
        if (ans1[i]+ans2[i]-2*ans3[i]==0) ans[++ans[0]]=i;
    printf("%d\n",ans[0]);
    for (int i=1;i<=ans[0];i++)
        printf("%d\n",ans[i]-lem+1);
    return 0;
}