3329: Xorequ 数位DP+矩阵乘法

数位DP好虚啊。。最近练练。
首先我们要对题意进行合理的转化：
$x \ xor \ 3x=2x$就等价于$x \ xor \ 2x=3x$，且我们知道$x+2x=3x$，即$x$与$x<<1$在相加时不能有进位，所以有$x \ and \ (x<<1)=0$，那么就转化为区间内满足这个条件的数量。
用$f_i$表示二进制表示下有$i$位，且最高位为$0$的个数，用$g_i$表示二进制表示下有$i$位，且最高位为$1$的个数。
那么转移显然：$f_i=f_{i-1}+g_{i-1},g_i=f_{i-1}$
先看第二问，第二问其实就是要求$f_n$，因为$f_n$表示的是$[0,2^n)$的答案个数，而$0$不是正整数，$2^n$是合法答案，所以总共还是有$f_n$个，打表可以发现$f_n$是$Fibonacci$数列的第$n+2$项，可以直接矩阵乘法求。
再看第一问，这是一个数位DP。
加入$N=22$，将$N+1$表示成二进制$10111$，并将答案划分成几段：
$[0,01111]$，答案为$f_4$。
$[10000,10011]$，答案为$f_2$。
$[10100,10101]$,答案为$f_1$。
$[10110,10111]$，由于有相邻的$1$存在，后面的答案都一定不合法，计算结束。
最后要减$1$，因为是不合法的。

数位DP一直很弱，一是边界问题，二是计数问题，还要多加练习啊。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long 
#define MOD 1000000007
using namespace std;
ll f[70],g[70];
struct Matrix
{
    ll a[2][2];
    Matrix()
    {
        memset(a,0,sizeof(a));
    }
    friend Matrix operator*(Matrix a,Matrix b)
    {
        Matrix ans;
        for (int i=0;i<2;i++)
            for (int j=0;j<2;j++)
                for (int k=0;k<2;k++)
                    (ans.a[i][j]+=a.a[i][k]*b.a[k][j])%=MOD;
        return ans;
    }
    friend Matrix operator^(Matrix a,ll b)
    {
        Matrix ans;
        for (int i=0;i<2;i++) ans.a[i][i]=1;
        for (;b;b>>=1,a=a*a)
            if (b&1) ans=ans*a;
        return ans;
    }
};
inline ll read()
{
    ll a=0,f=1; char c=getchar();
    while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') f=-1; c=getchar();}
    while (c>='0'&&c<='9') {a=a*10+c-'0'; c=getchar();}
    return a*f;
}
inline ll query_1(ll x)
{
    int i,flag=0;
    ll ans=0;
    for (i=0;1ll<<i<=x;i++);
    for (;i;i--)
        if ((1ll<<i-1)&x)
        {
            ans+=f[i];
            if (flag) return ans-1;
            flag=1;
        }
        else flag=0;
    return ans-1;
}
inline ll query_2(ll x)
{
    Matrix A;
    A.a[0][0]=0; A.a[0][1]=A.a[1][0]=A.a[1][1]=1;
    A=A^x;
    return (A.a[0][1]+A.a[1][1])%MOD;
}   
int main()
{
    int testcase=read();
    f[0]=1;
    for (int i=1;i<64;i++)
        f[i]=f[i-1]+g[i-1],g[i]=f[i-1];
    while (testcase--)
    {
        ll n=read();
        printf("%lld\n%lld\n",query_1(n+1),query_2(n));
    }
    return 0;
}