1009: [HNOI2008]GT考试矩阵乘法优化DP+KMP_矩阵乘法优化kmp-优快云博客

本文介绍了一种利用KMP算法结合矩阵快速幂的方法解决字符串匹配问题的技术方案。通过预处理构建状态转移矩阵，并利用快速幂优化多次状态转移的过程，最终高效地计算出所有可能的匹配情况。

好老的题了啊..
用 $f_{i,j}$ 表示当前串的长度为 $i$ ，已经匹配了 $j$ 位，当我们在下一位放上 $0..9$ 的不同数字时，可能转移到不同的状态 $f_{i+1,k}$ ，而求解 $k$ 我们可以用 $kmp$ 算法来得到，那么我们可以根据这个得到一个矩阵 $a_{j,k}$ ，代表有 $a_{j,k}$ 种方法可以由已经匹配 $f_{i,j}$ 转移到 $f_{i,k}$ ，每次转移都是相同的，我们可以用矩阵乘法进行优化，求出矩阵 $a^n$ ，然后答案就等于 $\sum_{i=0}^{m-1}a_{0,i}$ 。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define M 25
using namespace std;
int n,m,sum,MOD;
char s[M];
int p[M];
struct Matrix
{
    long long a[M][M];
    Matrix()
    {
        memset(a,0,sizeof(a));
    }
    friend Matrix operator*(Matrix a,Matrix b)
    {
        Matrix ans;
        for (int i=0;i<m;i++)
            for (int j=0;j<m;j++)
                for (int k=0;k<m;k++)
                    (ans.a[i][j]+=a.a[i][k]*b.a[k][j])%=MOD;
        return ans;
    }
    friend Matrix operator^(Matrix a,long long b)
    {
        Matrix ans;
        for (int i=0;i<m;i++) ans.a[i][i]=1;
        for (;b;b>>=1,a=a*a)
            if (b&1) ans=ans*a;
        return ans;
    }
}a,ans;
inline void kmp()
{
    int j=0; p[1]=0;
    for (int i=2;i<=m;i++)
    {
        while (j&&s[j+1]!=s[i]) j=p[j];
        if (s[j+1]==s[i]) j++;
        p[i]=j;
    }
    for (int i=0;i<m;i++)
        for (int j=0;j<=9;j++)
        {
            int x=i;
            while (x&&s[x+1]-'0'!=j) x=p[x];
            if (s[x+1]-'0'==j) a.a[i][x+1]++;
            else a.a[i][0]++;
        }
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&MOD);
    scanf("%s",s+1);
    kmp();
    ans=a^n;
    for (int i=0;i<m;i++) (sum+=ans.a[0][i])%=MOD;
    cout << sum << endl;
    return 0;
}