2111: [ZJOI2010]Perm 排列计数 DP+组合数学

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本文介绍了一种计算小根堆种类的方法，通过递归定义f_i表示由i个元素组成的小根堆的不同形态数量，并利用组合数学中的组合数C进行计算。

$f_i$ 表示 $i$ 个数组成的小根堆的种类， $size_i$ 表示以 $i$ 为根的小根堆的结点个数，令 $i<<1,i<<1|1$ 分别表示堆的左右儿子，则有：

f i = C s i z e i < < 1 s i z e i - 1 f i < < 1 f i < < 1 | 1

$f_i=C_{size_i-1}^{size_i<<1}f_{i<<1}f_{i<<1|1}$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define N 1000005
#define ll long long 
using namespace std;
int n,P;
int f[N<<1],size[N<<1],fac[N],inv[N];
inline int read()
{
    int a=0,f=1; char c=getchar();
    while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') f=-1; c=getchar();}
    while (c>='0'&&c<='9') {a=a*10+c-'0'; c=getchar();}
    return a*f;
}   
inline void pre()
{
    fac[0]=fac[1]=1; inv[0]=inv[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;i++) fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%P;
    for (int i=2;i<=n;i++) inv[i]=(ll)(P-P/i)*inv[P%i]%P;
    for (int i=2;i<=n;i++) inv[i]=(ll)inv[i]*inv[i-1]%P;
}
inline int C(int n,int m)
{
    if (n<m) return 0;
    if (n<P&&m<P) return (ll)fac[n]*inv[m]%P*inv[n-m]%P;
    return C(n/P,m/P)*C(n%P,m%P)%P;
}
int main()
{
    n=read(); P=read();
    pre();
    for (int i=n+1;i<=2*n+1;i++) f[i]=1,size[i]=0;
    for (int i=n;i;i--)
    {
        size[i]=size[i<<1]+size[i<<1|1]+1;
        f[i]=(ll)C(size[i]-1,size[i<<1])*f[i<<1]%P*f[i<<1|1]%P;
    }
    cout << f[1] << endl;
    return 0;
}