2005: [Noi2010]能量采集容斥原理

最新推荐文章于 2019-07-09 10:45:17 发布

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本文介绍了一种利用容斥原理解决特定数学求和问题的算法实现，通过定义g(x)来表示x作为两个数的最大公约数的个数，并通过f(x)表示gcd(i,j)=x的个数。算法采用倒序遍历的方式，解决了不同范围内的i和j的求和问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

容斥一下。

题目要求

\sum i = 1 n \sum j = 1 m g c d (i, j) * 2 - 1

$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^mgcd(i,j)*2-1$
因为i和j限制不同，所以不能用那种线性筛的方法啦。
我们可以考虑用

f(x) $f(x)$ 表示

gcd(i,j)=x $gcd(i,j)=x$ 的个数，这个并不好求。那么我们考虑用

g(x) $g(x)$ 表示

x $x$ 为

i $i$ 和

j $j$ 的约数的

(i,j) $(i,j)$ 个数，那么显然

g(x)=⌊nx⌋∗⌊mx⌋ $g(x)=\lfloor \frac{n}{x}\rfloor*\lfloor\frac{m}{x}\rfloor$
那么着里边就存在一些约数为

2d,3d,4d... $2d,3d,4d...$ 的数对

(i,j) $(i,j)$ ,我们要把它减去。
所以

f (x) = g (x) - \sum j = 2, j * x < = m i n (n, m) f (j * x)

$f(x)=g(x)-\sum_{j=2,j*x<=min(n,m)}f(j*x)$
然后倒序就好啦。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define ll long long 
using namespace std;
ll ans,f[100005];
int n,m;
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    if (n>m) swap(n,m);
    for (int i=n;i;i--)
    {
        f[i]=(ll)(m/i)*(n/i);
        for (int j=2;j*i<=n;j++)
            f[i]-=f[i*j];
        ans+=f[i]*(2*i-1);
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}