浅谈01分数规划-代码改变世界

浅谈01分数规划

所谓01分数规划，看到这个名字，可能会想到01背包，其实长得差不多。
这个算法就是要求“性价比”最高的解。sum(v)/sum(w)最高的解。

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定义

我们给定两个数组，a[i]表示选取i的收益，b[i]表示选取i的代价。如果选取i，定义x[i]=1否则x[i]=0。每个物品只有选和不选的两种方案，求一个选择的方案使得R=sigma(a[i]*x[i])/sigma(b[i]*x[i])，也就是选择物品的总收益/总代价最大或者最小。

01分数规划问题主要包含以下几个问题：

• 一般的01分数规划
• 最优比率生成树
• 最优比率环

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关于01分数规划的关键

F(L)=sigma(a[i]*x[i])-L*sigma(b[i]*x[i])
F(L)=sigma(a[i]*x[i]-L*b[i]*a[i])
F(L)=sigma((a[i]-L*b[i])*x[i])

我们把a[i]-L*b[i]定义为d[i]，这样我们的算式就变成了以下算式。

F(L)=sigma(d[i]*x[i])

这样我们就把这个繁琐的算式变成了一个非常优美的算式。
而01分数规划就是要枚举L在求最大值或最小值的F(L)。
在实现程序的过程中，我们使用一个非常熟悉的老朋友，要求最大或最小，所以？？我们就要用二分

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关于为什么01分数规划不能用贪心？

（个人看法）
如果硬要贪心，那么就只有可能是算出每一个物品的性价比，在排序求出最大或者最小的性价比，在累加算出答案。

一、01分数规划算法

先设置价值数组a[i]和代价数组b[i]，我们的答案为R。

$$R= \frac{\sum_{i=1}^{n}{a[i]*x[i]}}{\sum_{i=1}^{n}{b[i]*x[i]}}$$
简单来说 $$R=\frac{\sum{valuei}}{\sum{weighti}}$$
我们可以发现，R的大小与上下的总值有关。

二、贪心算法

我们反观一下贪心算法，先算出每个