2024杭电多校第七场 —— 1008循环图

前置知识：矩阵快速幂（自行优快云）

tag:图论+DP+矩阵快速幂优化

关键点1：v[i] >= u[i]+1 则说明一定为拓扑图

关键点2：又考虑到每层的DP转移只与上一层节点有关，且转移是线性的，考虑矩阵快速幂优化

实现：乘法原理求方案数，若没有边权才可用加法(相当于乘1)

到达i号节点的方案数 = 到达v的方案数(v能到i) * v->i的边权

dp[i]表示到点i的方案数，A[i]表示到第i层的点A的方案数，A[i]=层间转移数*层内转移数

层间转移

A[2]+=dp[5] =0*A[1]+0*B[1]+1*C[1]+0*D[1]                                         0 0 1 0

B[2]+=dp[6]=dp[1]+dp[3] =1*A[1]+0*B[1]+1*C[1]+0*D[1]                     1 0 1 0

C[2]+=dp[7]=dp[2] =0*A[1]+1*B[1]+0*C[1]+0*D[1]                               0 1 0 0

D[2]+=dp[8]=dp[4] =0*A[1]+0*B[1]+0*C[1]+1*D[1]                               0 0 0 1

层内转移

A[2]+=dp[5]= 0                                                                                     0 0 0 0

B[2]+=dp[6]=dp[5]=A[2]                                                                       1 0 0 0

C[2]+=dp[7]=dp[6]=B[2]                                                                       0 1 0 0

D[2]+=dp[8]=dp[5]+dp[6]+dp[7]=A[2]+B[2]+C[2]                                  1 1 1 0

最终转移式

A[2]=0*A[1]+0*B[1]+1*C[1]+0*D[1]

B[2]=1*A[1]+0*B[1]+2*C[1]+0*D[1]

C[2]=1*A[1]+1*B[1]+2*C[1]+0*D[1]

D[2]=2*A[1]+1*B[1]+5*C[1]+1*D[1]

时间复杂度O(n^3*log(1e18))

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define all(x) x.begin(),x.end()
#define no cout<<"No"<<endl
#define yes cout<<"Yes"<<endl
#define endl '\n'
// #define x first
// #define y second
typedef pair<int,int> PII;
const int N=110;
const int mod=1e9+7;
const int INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

int n,m,L,R;
struct Matrix{
    int a[N][N];
    Matrix(int val){
        for(int i=1;i<=n+1;++i){
            for(int j=1;j<=n+1;++j){
                a[i][j]=val;
            }
        }
    }
    Matrix operator*(Matrix b){
        Matrix res(0);
        for(int i=1;i<=n+1;++i){
            for(int j=1;j<=n+1;++j){
                for(int k=1;k<=n+1;++k){
                    res.a[i][j]=(res.a[i][j]+a[i][k]*b.a[k][j]%mod)%mod;
                }
            }
        }
        return res;
    }
};

Matrix ksm(Matrix x,int k){
    Matrix res(0);
    for(int i=1;i<=n+1;++i)res.a[i][i]=1;
    while(k){
        if(k&1)res=res*x;
        k>>=1;
        x=x*x;
    }
    return res;
}

int ans[N];
int calc(Matrix a,int x){
    int t1=x/n;
    int t2=x%n;

    Matrix t=ksm(a,t1);

    int res=0;
    for(int i=1;i<=n+1;i++){
        res+=ans[i]*t.a[n+1][i]%mod;
        res%=mod;
    }
    for(int i=1;i<=t2;i++){
        int tt=0;
        for(int j=1;j<=n+1;j++){
            tt+=ans[j]*t.a[i][j]%mod;
            tt%=mod;
        }
        res+=tt;
        res%=mod;
    }
    return res;
}

void solve(){
    cin>>n>>m>>L>>R;
    for(int i=1;i<=n+1;i++)ans[i]=0;ans[1]=1;
    Matrix base(0);
    vector<vector<PII>> fa(n+1);
    for(int i=0;i<m;i++){
        int u,v,w;cin>>u>>v>>w;
        if(v<=n)fa[v].push_back({u,w});
        else base.a[v-n][u]+=w;
    }


    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(auto [v,w]:fa[i]){
            ans[i]+=w*ans[v]%mod;
            ans[i]%=mod;
        }
    }

    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(auto [v,w]:fa[i]){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                base.a[i][j]+=base.a[v][j]*w%mod;
                base.a[i][j]%=mod;
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n+1;i++)base.a[n+1][i]=1;


    cout<<(calc(base,R)-calc(base,L-1)+mod)%mod<<endl;

}

signed main(){
    ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
    int _=1;
    cin>>_;
    while(_--)solve();
    return 0;
}