基于贪心算法、动态规划对求解最大子矩阵问题的深入研究

背景及必备知识

总所周知，矩阵实质就是一个二维数组。所以想要求最大子矩阵，不如先来看看如何求一位数组的最大子序列和吧！

• 现假设有一个一维数组 arr[n]，要你找出连续的一段数组元素，使其和最大
• 例如，一个一维数组：4 -5 6 3 7 -1 8 ，通过肉眼观察， 6 3 7 -1 8 为这个数组的连续最大和。那么有什么算法能够解决这个问题呢？
  我们可能看一眼就能想到的方法就是用三层循环来枚举吧！
  是不是像这样~~

int max_sum, tmp_sum;
for(int i = 0, i < n; i++) {
	for(int j = 0; j <= i; j++) {
		tmp_sum = 0;
		for(int k = j; k <= i; k++) {
			tmp_sum += arr[k];
		}
		if (tmp_sum > max_sum)
			max_sum = tmp_sum;
	}
}

这样确实可以，但显然时间复杂度太高了，不好。

于是我向大家隆重推出今天的主角：用动态规划，以O(n)的复杂度来做。（我还是结合代码来讲吧）

int get_maxsum(int arr[],int m)
{
	int t=0;
	int Max=0;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		if(t>=0) t+=arr[i];//如果前面累加的大于0，说明它能增大当前数
		                   //那当前最优策略就是让当前的数加入原先的序列
		else t=arr[i];//如果前面累加的数小于等于0，则它对当前数无帮助
		              //则还不如以当前的数另起一个序列
		Max=max(Max,t);//记录
	}
	return Max;
}

问题分析

好了，现在我们知道了如何求一维数组中的最大子序列。
那如何把一维拓展到二维呢？（先自己想想吧！）

其实很简单~~
先来看张图片

• 假设我们要求的最大子矩阵是原矩阵的第 i 行到第 j 行，第 k 列到第 s 列，那么如下图所示，圈出的范围即最大子矩阵。我们将最大子矩阵的每一列各自加和，就可以得到一个一维数组
• 该一维数组的各个元素为a[i][k] +······+ a[j][k], ···+···+··· , a[i][s] +······+ a[j][s]。

从上面的idea中我们可以得出解决此问题的基本思想：

• 控制新的子矩阵开始，每列中的元素累加变成一维数组中的各个元素，然后再求一维数组最大子序列的和。

懂了吗？
还有点昏的话，看看代码吧！

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n,m;
int Map[120][120],max_sum=0;

int work(int arr[],int m)//前面讲过了，就是dp的方法
{
	int t=0;
	int Max=0;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		if(t>=0) t+=arr[i];
		else t=arr[i];
		Max=max(Max,t);
	}
	return Max;
}

int main()
{
	scanf("%d %d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=m;j++)
		{
			scanf("%d",Map[i]+j);//用Map数组存储该矩阵
		}
	}
	int col[120];
	for(int i=1;i<=n;i++)//控制所累加列的起点
	//这层i循环及下面的j循环放在一起起了枚举了所有行层的作用（这里有点儿难理解，好好想想）
	{
		memset(col,0,sizeof(col));//以新的起点开始累加
		for(int j=i;j<=n;j++)//控制所累加列的终点
		{
			for(int k=1;k<=m;k++)//对各个列进行累加操作
			{
				col[k]+=Map[j][k];
			}
			max_sum=max(max_sum,work(col,m));//求解这些列所构成的一位数组的最大子序列
		}
	}
	cout<<max_sum;
	return 0;
}

这就好了呀！对，就这么巧妙！
好好回味一下吧，相信你最后一定能获得一种别有洞天的感觉！

学习厌倦了？点我有更多精彩哦！