01背包问题的朴素做法及其空间复杂度的优化做法

问题

【题目描述】

一个旅行者有一个最多能装 M 公斤的背包，现在有 n 件物品，它们的重量分别是W1，W2，…,Wn,它们的价值分别为C1,C2,…,Cn，求旅行者能获得最大总价值。

【输入】

第1行：两个整数，M(背包容量，M≤200)和N(物品数量，N≤30)；

第2…N+1行：每行二个整数Wi，Ci，表示每个物品的重量和价值。

【输出】

仅一行，一个数，表示最大总价值。

【输入样例】

10 4
2 1
3 3
4 5
7 9

【输出样例】

12

Solution1（朴素做法）

这个问题便是背包问题中最基本，也是最经典的01背包问题。
它的特点是对于每类物品只有两种选择：放 与 不放。
针对于此特点，我们不难发现对于状态 f[i][j]（处理到第i个物品，此时总重量不超过j的最优价值），有两种情况：能放与不能放。

如果不能放（即j<当前物品的重量c[i]），此时没什么好说的，前 i 件物品产生的最优价值就是前 i-1 件物品产生的最优价值。

如果能放（即j>=当前物品的重量c[i]），就会有放与不放这两种选择。

• 如果放：所产生的价值为 f[i-1][ j-c[i] ]+w[i]
  注：前 i 件物品产生的总价值为第 i 件物品的价值 w[i] + 前 i-1 物品产生的最优总价值f[i-1][ j-c[i] ]（因为要放第 i 个重量为c[i]的物品，所以留给前 i–1 件物品的总重量为 j-c[i]）
• 如果不放：显然此时产生的总价值为前 i-1 件物品所产生的最优价值 f[i-1][j]

因为要最优化，所以将二者所产生的价值取max即可。

综上，我们便得到了如下的状态转移方程
$$f[i][j]=\{\begin{array}{l}f[i-1][j]\end{array}$$