IOI 2010 Quality of Living（二分答案）

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题意

给定一个 $R×CR\times C$ 的矩阵，找到一个 $\times W$ 的子矩阵使得中位数最小，保证 $H, W$ 均为奇数。
$\leq H \leq R \leq 1000$
$\leq W \leq C \leq 1000$

思路

不愧是 $IOI\text{IOI}$ 的题目，很难想到，但想到都会连声称妙。二分答案是一种很容易成为思维漏洞的算法，看到这类题目总会条件反射的想到数据结构或其他算法，二分答案好像完全不沾边。其实想到二分答案后，整个思维的方向都会发生改变。
比如这道题，让我们框一个矩形使中位数最小，我们显然会各种尝试使它变小，然而，我们如果二分了一个中位数作为答案，我们的任务就是找到一个满足或会更优的子矩形，后者明显更加容易。我们不妨二分一个答案，然后把矩阵转化成01矩阵即原数是不是小于等于你的答案，我们只用找是否有矩形 $1$ 的个数大于等于 $\over 2}$ ——用二维前缀和实现——然后找到第一个满足条件的解即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define FOR(i,x,y) for(int i=(x),i##END=(y);i<=i##END;++i)
#define DOR(i,x,y) for(int i=(x),i##END=(y);i>=i##END;--i)
typedef long long LL;
using namespace std;
const int N=1003;
int a[N][N],s[N][N];
int S(int X1,int Y1,int X2,int Y2)
{
    return s[X2][Y2]-s[X1-1][Y2]-s[X2][Y1-1]+s[X1-1][Y1-1];
}
int n,m,w,h,MID;
void Read(int &x)
{
    x=0;char ch=getchar();
    for(;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar());
    for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
}
 
bool check(int k)
{
    FOR(i,1,n)FOR(j,1,m)s[i][j]=(a[i][j]<=k);
    FOR(i,1,n)FOR(j,1,m)s[i][j]+=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1];
    FOR(i,1,n-w+1)FOR(j,1,m-h+1)if(S(i,j,i+w-1,j+h-1)>=MID)return true;
    return false;
}
 
int main()
{
    Read(n),Read(m),Read(w),Read(h);
    MID=(w*h+1)/2;
    FOR(i,1,n)FOR(j,1,m)Read(a[i][j]);
    int l=1,r=n*m,mid;
    while(l<r)
    {
        mid=l+r>>1;
        if(check(mid))
            r=mid;
        else l=mid+1;
    }
    printf("%d\n",l);
    return 0;
}