【题解】【洛谷P1029】【数学】—— [NOIP2001 普及组] 最大公约数和最小公倍数问题

前置知识：最大公约数和最小公倍数的概念和基本性质。

[NOIP2001 普及组] 最大公约数和最小公倍数问题

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题目描述

输入两个正整数 $x_0,y_0$，求出满足下列条件的 $P,Q$ 的个数：

1. $P,Q$ 是正整数。

2. 要求 $P,Q$ 以 $x_0$ 为最大公约数，以 $y_0$ 为最小公倍数。

试求：满足条件的所有可能的 $P,Q$ 的个数。

输入格式

一行两个正整数 $x_0,y_0$。

输出格式

一行一个数，表示求出满足条件的 $P,Q$ 的个数。

输入输出样例

输入 #1

3 60

输出 #1

4

提示

$P,Q$ 有 $4$ 种：

1. $3,60$。
2. $15,12$。
3. $12,15$。
4. $60,3$。

对于 $100\%$ 的数据，$2\le x_0,y_0\le {10}^5$。

【题目来源】

NOIP 2001 普及组第二题

1.题意解析

    这道题主要考基础数论，我们首先需要知道以下这几个性质。

$1.(a,b)\ast [a,b]=a\ast b$
$2.(a,b)=(b,a\%b)(a>b)$
其中，$(a,b)$表示a和b的最大公因数，$[a,b]$表示a和b的最小公倍数。

    我们首先来看第一条。

对于$(a,b)=k$，我们可以将$a$和$b$分别用带$k$的式子表示出来：
$a=xk,b=yk(x和y互质)$
那么根据小学就学过的 最小公倍数计算法，可以得出$[a,b]=\frac{ab}{k}=\frac{(xk)(yk)}{k}=xyk$
将它们两个相乘就可以得到$k\ast xyk=(xk)(yk)=ab$
证毕

    接下来是第二条，这就是大名鼎鼎的辗转相除法了，这里仅给出代码部分。其实使用algorithm中的__gcd函数也可以。

int gcd(int x,int y)//求最大公因数的函数 
{
	if(x%y==0)return y;
	return gcd(y,x%y);
}

    那么我们只需要枚举$p$，再通过$p$算出$q$，再判断就行了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int gcd(int x,int y)//求最大公因数的函数 
{
	if(x%y==0)return y;
	return gcd(y,x%y);
}
int main()
{
    int x,y,ans=0;
	cin>>x>>y;
	//可以发现,p*q=x*y
	for(int p=1;p<=x*y;p++)//枚举p
	{
		if(x*y%p!=0)continue;//不符合最大公倍数的情况
		int q=x*y/p;//计算q
		if(gcd(q,p)==x)ans++;//符合最大公因数,答案数+1
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}

    看看进度条，就知道事情没这么简单。

    可以看到，最后一个测试点超时了。$x_0\ast y_0$最大能达到$1e10$，$O(n)$都通过不了。我们可以仿照判断质数枚举边界来优化。这里直接引用这篇文章里的一段话。

当然，合数有一个这样的特征：它们的因数都是成对出现的。比如:

20=1* 20=2* 10=4* 5

所以对于$x$，我们只需要枚举到$\sqrt{x}$就可以了。
但使用sqrt函数会导致效率低下(计算机中开方、除法永远比乘方、乘法慢)所以我们可以判断i∗i<=x就可以了。

    借用这个特性，我们可以将判断条件缩减成p*p<=x*y。
    当然，由于3,60和60,3算不同的两种，所以最后要乘2。

提交程序，完工！了吗？

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int gcd(int x,int y)//求最大公因数的函数 
{
	if(x%y==0)return y;
	return gcd(y,x%y);
}
int main()
{
    int x,y,ans=0;
	cin>>x>>y;
	//可以发现,p*q=x*y
	for(int p=1;p*p<=x*y;p++)//枚举p
	{
		if(x*y%p!=0)continue;//不符合最大公倍数的情况
		int q=x*y/p;//计算q
		if(gcd(q,p)==x)ans++;//符合最大公因数,答案数+1
	}
	cout<<ans*2;
	return 0;
}

    我们不妨将这样一组数据带入进去。

100 100

    我们刚刚写的程序居然输出2！这是因为，如果$x_0=y_0$，那么就没有足够的“空间”再凑出两对因数来了。所以要加一个特判。这次是真没了。

2.AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int gcd(int x,int y)//求最大公因数的函数 
{
	if(x%y==0)return y;
	return gcd(y,x%y);
}
int main()
{
    int x,y,ans=0;
	cin>>x>>y;
	//可以发现,p*q=x*y
	for(int p=1;p*p<=x*y;p++)//枚举p
	{
		if(x*y%p!=0)continue;//不符合最大公倍数的情况
		int q=x*y/p;//计算q
		if(gcd(q,p)==x)ans++;//符合最大公因数,答案数+1
	}
	if(x!=y)ans*=2;
	cout<<ans;
	return 0;
}

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