数列分块入门6

本文介绍了一种基于块的数据结构实现方法,该方法通过动态调整块大小来优化查询效率。当单个块内的元素数量超过阈值时,将重新构建整个数据结构,确保操作的高效性。

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题目链接
当单块过大时,进行重新建块

#include<stdio.h>
#include<set>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<string>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
using namespace std;
typedef long long int ll;
const int N=100000+10;
int v[N],st[2*N];
vector<ll>s[N];
int n,m,top,blo;
pair<int,int>query(int b)
{
    int x=1;
    while(b>s[x].size())
        b-=s[x].size(),x++;
    return make_pair(x,b-1);
}
void rebuild()
{
    top=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        for(vector<ll>::iterator j=s[i].begin();j!=s[i].end();j++)
            st[++top]=(*j);
        s[i].clear();
    }
    int blo2=sqrt(top);
    for(int i=1;i<=top;i++)
        s[(i-1)/blo2+1].push_back(st[i]);
    m=(top-1)/blo2+1;
}
void inst(int a,int b)
{
    pair<int,int>t=query(a);
    s[t.first].insert(s[t.first].begin()+t.second,b);
    if(s[t.first].size()>20*blo)
        rebuild();
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    blo=sqrt(n);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",v+i);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    s[(i-1)/blo+1].push_back(v[i]);
    m=(n-1)/blo+1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int l,r,f,c;
        scanf("%d%d%d%d",&f,&l,&r,&c);
        if(f==0)inst(l,r);
        if(f==1)
        {
            pair<int,int>t=query(r);
            printf("%d\n",s[t.first][t.second]);
        }
    }
    return 0;
}
### 数列分块入门第8题的算法实现与解析 数列分块是一种高效的处理区间查询和修改的技术,其核心思想是将数组划分为若干个连续的小块,每一块内的元素可以快速更新或查询。对于数列分块入门第8题,假设问题是涉及区间的加法操作以及最大值查询,则可以通过以下方法来解决。 #### 1. 数据结构设计 为了高效完成区间加法和最大值查询的操作,我们可以维护两个辅助数组: - `block_sum[]`:存储每个块的最大值。 - `lazy_tag[]`:标记每个块是否有延迟更新(即尚未应用到具体元素上的增量)。 这些数据结构的设计使得我们可以在 $ O(\sqrt{n}) $ 的时间复杂度下完成单次操作[^3]。 #### 2. 初始化过程 初始化时,我们需要计算初始状态下的块划分情况,并填充上述辅助数组的内容。以下是具体的代码实现: ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int MAXN = 1e5 + 5; int a[MAXN], block_size, block_num; long long block_max[400]; bool lazy_flag[400]; void build_block(int n) { block_size = sqrt(n); block_num = (n + block_size - 1) / block_size; memset(block_max, 0, sizeof(block_max)); memset(lazy_flag, false, sizeof(lazy_flag)); for (int i = 0; i < n; ++i) { int idx = i / block_size; block_max[idx] = max(block_max[idx], (long long)a[i]); } } ``` #### 3. 延迟标记的应用 当执行区间加法时,为了避免逐一遍历整个范围中的每一个元素,引入懒惰传播机制。如果某个整块完全被覆盖在当前操作范围内,则直接对该块打上标签并记录增量;否则逐一访问该块内部受影响的部分。 下面是针对这一逻辑的具体函数定义: ```cpp // Apply the pending update to all elements within specified block. void propagate(int blk_idx, int delta) { if (!lazy_flag[blk_idx]) return; // Update maximum value of this block accordingly. block_max[blk_idx] += delta * block_size; lazy_flag[blk_idx] = false; } // Add 'delta' to range [l, r]. void add_range(int l, int r, int delta, int n) { int start_blk = l / block_size, end_blk = r / block_size; if (start_blk == end_blk) { for (int i = l; i <= min(r, (start_blk + 1) * block_size - 1); ++i) a[i] += delta; // Recalculate new maximum after modification. block_max[start_blk] = 0; for (int i = start_blk * block_size; i < ((start_blk + 1) * block_size && i < n); ++i) block_max[start_blk] = max((long long)a[i], block_max[start_blk]); } else { // Process first incomplete block separately. for (int i = l; i < (start_blk + 1) * block_size; ++i) a[i] += delta; block_max[start_blk] = 0; for (int i = start_blk * block_size; i < ((start_blk + 1) * block_size && i < n); ++i) block_max[start_blk] = max((long long)a[i], block_max[start_blk]); // Fully covered blocks can simply apply tag updates. for (int b = start_blk + 1; b < end_blk; ++b){ block_max[b] += delta * block_size; lazy_flag[b] |= true; } // Handle last partial block similarly as above case. for (int i = end_blk * block_size; i <= r; ++i) a[i] += delta; block_max[end_blk] = 0; for (int i = end_blk * block_size; i < ((end_blk + 1) * block_size && i < n); ++i) block_max[end_blk] = max((long long)a[i], block_max[end_blk]); } } ``` #### 4. 查询最值功能 最后一步是在给定区间内查找最大的数值。这同样依赖于之前构建好的块级信息来进行加速检索。 ```cpp long long query_max(int l, int r) { int start_blk = l / block_size, end_blk = r / block_size; long long result = LLONG_MIN; if (start_blk == end_blk) { for (int i = l; i <= r; ++i) result = max(result, (long long)a[i]); } else { for (int i = l; i < (start_blk + 1) * block_size; ++i) result = max(result, (long long)a[i]); for (int b = start_blk + 1; b < end_blk; ++b) result = max(result, block_max[b]); for (int i = end_blk * block_size; i <= r; ++i) result = max(result, (long long)a[i]); } return result; } ``` 通过以上步骤即可有效应对数列分块相关的题目需求。 ---
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