2021牛客多校#8 C-Fuzzy Graph（构造）

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题目大意

有一个$n(3\le n\le 3\cdot 10^5)$个点$m(3\le 5\cdot 10^5)$条边的简单无向图，需要将每个顶点染为红绿蓝三种颜色之一。然后对于每条边，若其两个端点颜色一样，则边也变成对应颜色，否则保持黑色。
基础目标为：

• 仅有黑边的情况下，图依旧保持联通。

在完成基础目标的前提下，还可以完成以下额外目标：
1.每种颜色顶点数相同。（保证 $n$ 是 $3$ 的倍数）
2.某种颜色的顶点数最多，但该颜色的节点的相邻边都是黑色。这个额外目标可以达成多次。
如下所示，左图是染色前，右图是按某种方式染色后的结果，其满足基础目标，每种颜色的顶点数相同，绿色节点出现次数最多且相邻边均为黑色，因此满足两个额外条件。

给定未染色的图，求至少满足一个额外目标的方案，或判断无解。

题解

我们先考虑基础目标，由题意得在相邻两个节点颜色不同的情况下是满足的。
我们先用两种不同的颜色填充整个图形，在奇数层用绿色，在偶数层用蓝色。
考虑第一种额外情况：当绿色和蓝色数量大于$\frac{n}{3}$我们可以在整张图上修改任意个节点标为红色，使三种颜色到达平衡。这时我们只要考虑红色的节点相互之间不矛盾即可，简单的贪心。
修改过程中从底部出发，可以尽可能减少冲突。
当绿色和蓝色数量有一个小于$\frac{n}{3}$时 我们需要删除相对应的颜色使其相等…
等等!
我们先看看第二种情况：当某种颜色大于其他两种时就可以了。
那么此时有可以更改至最大的颜色吗？
巧了真有！
我们将绿色节点数和黄色节点数分为叶节点和非叶节点，设绿色小于$<$