拉格朗日对偶性

本文阐述了将原始优化问题转化为对偶问题的思路,通过构造拉格朗日对偶函数来确定原问题最优值的最大下界,从而简化求解过程。在一定条件下,对偶问题的解等于原问题的解,使复杂问题得以解决。

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原始问题
min⁡xf(x)\min\limits_xf(x)xminf(x)
s.t. g(x)≤0s.t.~g(x)\leq0s.t. g(x)0
原始问题转化为对偶问题求解的整体思路就是构造原问题最优值的下界(即拉格朗日对偶函数)。然后考虑如何确定原问题最优值的最大下界(最大化拉格朗日对偶函数)即可。
构造拉格朗日函数:
L(x,λ)=f(x)+λg(x),   λ≥0L(x,\lambda)=f(x)+\lambda g(x),~~~\lambda\geq0L(x,λ)=f(x)+λg(x)   λ0
则有:
d∗=max⁡λmin⁡xL(x,λ)≤L(x,λ)≤min⁡xmax⁡λL(x,λ)=p∗d_*=\max\limits_\lambda\min\limits_x L(x,\lambda)\leq L(x,\lambda)\leq \min\limits_x\max\limits_\lambda L(x,\lambda)=p_*d=λmaxxminL(x,λ)L(x,λ)xminλmaxL(x,λ)=p
或者
d∗=max⁡λmin⁡xL(x,λ)≤L(x,λ)≤min⁡xf(x)=p∗d_*=\max\limits_\lambda\min\limits_x L(x,\lambda)\leq L(x,\lambda)\leq \min\limits_xf(x)=p_*d=λmaxxminL(x,λ)L(x,λ)xminf(x)=p
(因为f(x)=max⁡λL(x,λ)f(x)=\max\limits_\lambda L(x,\lambda)f(x)=λmaxL(x,λ))。

拉格朗日对偶函数θD(λ)=min⁡xL(x,λ)\theta_D(\lambda)=\min\limits_x L(x,\lambda)θD(λ)=xminL(x,λ)θD(λ)\theta_D(\lambda)θD(λ)为原始问题的最优值p∗p_*p的下界。
考虑求解对偶函数θD(λ)\theta_D(\lambda)θD(λ)的最好(优、大)下界即可得到对偶问题。
对偶问题
max⁡λθD(λ)\max\limits_\lambda\theta_D(\lambda)λmaxθD(λ)
s.t.  λ≥0s.t.~~\lambda\geq0s.t.  λ0

需要注意到,目前为止,对偶问题的最优值d∗d_*d仅是原始问题的最优值p∗p_*p的一个下界。但是在一定条件下有d∗=p∗d_*=p_*d=p。此时对偶问题的解也是原问题的解,这样原问题得以求解。这个一定条件就是原目标函数f(x)f(x)f(x)是凸的,不等式约束函数g(x)是凸的g(x)是凸的g(x)并且严格可行,等式约束函数h(x)h(x)h(x)是仿射函数。

最终求解就是对拉格朗日函数的原变量xxx和对偶变量λ\lambdaλ求导。即可得到对偶变量λ\lambdaλ的解,以及原变量xxx和对偶变量λ\lambdaλ的关系,根据其关系的到原变量xxx的解。

注:之所以转化为对偶问题是因为,不论原问题的凸性如何,对偶问题始终是一个凸优化问题,更容易求解。另外转化为对偶问题可能导致优化变量的减少等。

拉格朗日对偶性在SVM中扮演着至关重要的角色,它不仅简化了问题的复杂度,还允许我们从另一个角度来解决优化问题。在《深度解析:吴恩达机器学习课程——支持向量机(SVM)》一书中,吴恩达教授详细讲解了从原始优化问题到对偶问题的转换过程,以及对偶问题在SVM中的应用。 参考资源链接:[深度解析:吴恩达机器学习课程——支持向量机(SVM)](https://wenku.youkuaiyun.com/doc/39hm797pyp?spm=1055.2569.3001.10343) 首先,我们需要理解拉格朗日乘子法的基本概念。在原始的SVM优化问题中,我们的目标是最大化分类间隔(margin),同时满足数据点必须位于边界正确一侧的约束条件。通过引入拉格朗日乘子,我们可以构建一个拉格朗日函数,将原始问题转化为一个无约束问题,进而通过求解拉格朗日函数的极值来找到最优解。 接下来,拉格朗日对偶性的概念告诉我们,对于一个凸优化问题,原始问题的最优值等于其对偶问题的最优值。这意味着我们可以通过求解对偶问题来获得原始问题的解,而在SVM中,对偶问题的结构更加简单,易于求解。通过对偶问题,我们不仅能够确定支持向量的位置,还能够得到分类超平面的最终表达式。 此外,拉格朗日对偶性的应用使得SVM能够有效地处理大规模数据集。在原始问题中,我们需要考虑所有数据点的约束,但对偶问题的特性使得我们只需关注支持向量,即那些对边界位置有决定性影响的数据点。这种稀疏性大大减少了计算量,特别是当数据维度很高时。 在实际应用中,拉格朗日对偶性结合核函数,使得SVM能够在高维空间中有效地工作,即使面对无法在原始空间线性分割的数据集。核函数将数据映射到一个更高维度的空间,在这个空间中,数据可能变得线性可分,从而允许SVM找到一个有效的分类超平面。 通过理解拉格朗日对偶性及其在SVM中的应用,我们可以更深刻地掌握SVM的工作原理,以及为何它在机器学习领域中具有如此广泛的应用。为了进一步深入学习这些概念,建议详细阅读《深度解析:吴恩达机器学习课程——支持向量机(SVM)》一书,它不仅提供了理论知识,还有丰富的实例和应用,帮助你全面掌握SVM的核心概念。 参考资源链接:[深度解析:吴恩达机器学习课程——支持向量机(SVM)](https://wenku.youkuaiyun.com/doc/39hm797pyp?spm=1055.2569.3001.10343)
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