基础递推01（hdu2046，hdu3070Fibonacci）

最新推荐文章于 2021-04-29 16:32:05 发布

Owen_Q

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分类专栏：快速幂矩阵乘法递推文章标签： acm

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Owen_Q/article/details/71774480

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本文探讨了递推在ACM问题中的应用，通过A.骨牌铺方格的问题，阐述了如何找到递推关系，形成类似于Fibonacci数列的公式。对于Fibonacci数列，文章提到了其广泛的应用，并介绍了使用快速幂求解大数Fibonacci项的方法，强调了这一技巧在处理此类问题时的重要性。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

今天，我们来研究一下递推，这种题类似于dp状态转移，又有种数学题数列计算的味道，公式一旦推出，程序将十分简单，往往事半功倍

A.骨牌铺方格

思路：这一题如果有递推意识的话，思路将非常清晰，就是抓住每一项最后新增的元素。对于最后新增的一列方格n，可以放置横骨牌和竖骨牌两种形式。对于竖骨牌，只需将前n-1个放满即可（即有f【n-1】种方式），而对于横骨牌，则将前n-2的放满即可（f【n-2】种方式），由此可得递推关系f【n】 = f【n-1】 + f【n-2】， f【1】 = 1， f【2】 = 2；

最后，注意一下大数可能超过int，开个long long即可

/*
Author：Owen_Q
*/

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

long long Fibonacci[60];

int main()
{
    int n;
    Fibonacci[1] = 1;
    Fibonacci[2] = 2;
    for(int i=3;i<=52;i++)
    {
        Fibonacci[i] = Fibonacci[i-1] + Fibonacci[i-2];
        //cout << i << "**" << Fibonacci[i] << endl;
    }
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {

        printf("%lld\n",Fibonacci[n]);
    }
    return 0;
}

J.Fibonacci

由上题不难看出，这是个Fibonacci数列，而Fibonacci数列作为一个特殊的数列，具有相当大的使用范围，因此快速求出较大Fibonacci的较大项就成了一个及其重要的问题

思路：这一题就是典型的快速幂，只不过在矩阵上进行，增加矩阵乘法的运算，题目本身难度不大，但却给我们快速求出Fibonacci数列提供了宝贵的思路，确实难能可贵

/*
Author：Owen_Q
*/

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int mode = 10000;

typedef struct MATRIX
{
	int a[2][2];
}Matrix;

Matrix Multiply(Matrix &aa, Matrix &bb)
{
	int i,j,k;
	Matrix cc;
	for(i=0;i<2;i++)
	{
		for(j=0;j<2;j++)
		{
		    cc.a[i][j] = 0;
			for(k=0;k<2;k++)
			{
				cc.a[i][j]=(aa.a[i][k]*bb.a[k][j]+cc.a[i][j]) % mode;
			}
			/*cout << aa.a[i][j] << "a*****"<<endl;
			cout << bb.a[i][j] << "b*****"<<endl;
			cout << cc.a[i][j] << "c*****"<<endl;*/
		}
	}
	return cc;
}

Matrix Power(Matrix &a0,long long k)
{
	Matrix b0;
	if(k==0)
    {
        b0.a[0][0] = 1;
        b0.a[0][1] = 0;
        b0.a[1][0] = 0;
        b0.a[1][1] = 1;
        return b0;
    }
	else if(k==1)
    {
        b0.a[0][0] = 1;
        b0.a[0][1] = 1;
        b0.a[1][0] = 1;
        b0.a[1][1] = 0;
		return b0;
    }
	else if(k%2==0)
	{
		b0=Power(a0,k/2);
		return Multiply(b0, b0);
	}
	else
	{
		b0=Power(a0,k-1);
		return Multiply(a0, b0);
	}
}

int main()
{
    long long n;
    while(scanf("%lld",&n)!=EOF)
    {
        if(n==-1)
        {
            break;
        }
        Matrix re;
        re.a[0][0] = 1;
        re.a[0][1] = 1;
        re.a[1][0] = 1;
        re.a[1][1] = 0;
        //cout << re.a[0][1] << "*"<<endl;
        re = Power(re,n);
        //cout << re.a[0][1] << "***" << endl;
        printf("%d\n",re.a[0][1]);
    }
    return 0;
}