2013南京区域赛 I 题Wall Painting (组合数学+位运算)

本文探讨了如何通过预处理组合数和统计二进制位数的方法,解决给定数组中选取不同数量元素进行异或操作的问题。核心思路在于利用二进制特性,结合组合数学原理,高效计算出所有可能的异或和。

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题意:给出n个数,求取k个数的异或和是多少,k从1到n,分别输出n个答案;

思路:由于这个是异或和,那么我们可以从这里下手,我们把n个数全都看成二进制的形式,那么当前某一位会被计算进总和,当且仅当在所取的k个数中,这一位为1(二进制形式下)的数量是奇数

那么最后答案就是求一个组合数,乘上当前这一位的权值(即2的幂次),之后相加就行了

#include <bits/stdc++.h>
#define eps 1e-8
#define INF 0x3f3f3f3f
#define PI acos(-1)
#define lson l,mid,rt<<1
#define rson mid+1,r,(rt<<1)+1
#define CLR(x,y) memset((x),y,sizeof(x))
#define fuck(x) cerr << #x << "=" << x << endl

using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int seed = 131;
const int maxn = 1e5 + 5;
const int mod = 1e6 + 3;
int n;
int a[maxn];
ll C[1005][1005];
void init(int N) {//预处理组合数
    for (int i = 0; i < N; i ++) {
        C[i][0] = C[i][i] = 1;
        for (int j = 1; j < i; j ++) {
            C[i][j] = C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1];
            C[i][j] %= mod;
        }
    }
}

int one[1004], zero[1004]; //分别表示第i位有几个
ll ans[maxn];
int main() {
    init(1002);
    while (~scanf("%d", &n)) {
        CLR(one, 0);
        CLR(zero, 0);
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            scanf("%d", &a[i]);
            ans[i] = 0;
        }
        for (int i = 0; i < 32; i++) {//预处理第i位1的个数和0的个数
            for (int k = 1; k <= n; k++) {
                int x =  (a[k] >> i) & 1;
                if (x == 1) one[i]++;
                else zero[i]++;
            }
        }
        for (int j = 1; j <= n; j++) {//选j个
            for (int i = 0; i < 32; i++) {//int数据范围下有32位
                int x = one[i];
                int y = zero[i];
                for (int k = 1; k <= j && x >= k; k += 2) {//因为是求异或,所以有贡献的话就要奇数
                    ans[j] = (ans[j] + C[x][k] * C[y][j - k] % mod * (1LL << i)) % mod;
                    //求组合数在乘上一个权值
                }
            }
        }
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            printf("%lld%c", ans[i], i == n ? '\n' : ' ');
        }
    }
    return 0;
}


一、综合实战—使用极轴追踪方式绘制信号灯 实战目标:利用对象捕捉追踪和极轴追踪功能创建信号灯图形 技术要点:结合两种追踪方式实现精确绘图,适用于工程制图中需要精确定位的场景 1. 切换至AutoCAD 操作步骤: 启动AutoCAD 2016软件 打开随书光盘中的素材文件 确认工作空间为"草图与注释"模式 2. 绘图设置 1)草图设置对话框 打开方式:通过"工具→绘图设置"菜单命令 功能定位:该对话框包含捕捉、追踪等核心绘图辅助功能设置 2)对象捕捉设置 关键配置: 启用对象捕捉(F3快捷键) 启用对象捕捉追踪(F11快捷键) 勾选端点、中心、圆心、象限点等常用捕捉模式 追踪原理:命令执行时悬停光标可显示追踪矢量,再次悬停可停止追踪 3)极轴追踪设置 参数设置: 启用极轴追踪功能 设置角度增量为45度 确认后退出对话框 3. 绘制信号灯 1)绘制圆形 执行命令:"绘图→圆→圆心、半径"命令 绘制过程: 使用对象捕捉追踪定位矩形中心作为圆心 输入半径值30并按Enter确认 通过象限点捕捉确保圆形位置准确 2)绘制直线 操作要点: 选择"绘图→直线"命令 捕捉矩形上边中点作为起点 捕捉圆的上象限点作为终点 按Enter结束当前直线命令 重复技巧: 按Enter可重复最近使用的直线命令 通过圆心捕捉和极轴追踪绘制放射状直线 最终形成完整的信号灯指示图案 3)完成绘制 验证要点: 检查所有直线是否准确连接圆心和象限点 确认极轴追踪的45度增量是否体现 保存绘图文件(快捷键Ctrl+S)
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