矩阵快速幂

最新推荐文章于 2024-07-25 12:55:56 发布

Originum

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分类专栏：矩阵快速幂数论理论分析文章标签：矩阵快速幂快速幂矩阵数论 ACM

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博客介绍了矩阵的定义，使用结构体存储矩阵二维数组及行数、列数，还重载了乘法运算符。阐述了矩阵快速幂，可参考普通快速幂算法。重点说明了其在求递推公式中的应用，如斐波那契数列，借助矩阵快速幂能快速求出结果。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

矩阵的定义：

矩阵就用二维数组存储，在结构体中也保存了矩阵的行数、列数 (m、n)。

在矩阵之间的计算中需要行数和列数的信息，与其在用到时指定，不如和矩阵二维数组一同放在结构体内，初始化时赋值。

把初始化的构造函数放在结构体内，就不用在外部使用前每次手动初始化，很方便。

由于经常要用到矩阵相乘，就直接重载了 * ，不用每次调用函数。

#include <memory.h>
typedef long long ll;
const int MOD = 1e9+7;
const int MAXN = 3;

struct mat {
    ll c[MAXN][MAXN];
    int m, n;                               //表示矩阵的行数、列数
    mat(int a, int b) : m(a), n(b) {        //构造函数初始化
        memset(c, 0, sizeof(c));
    }
    mat operator * (const mat& temp) {      //重载运算符 *
        mat ans(m, temp.n);
        for (int i = 0; i < m; i ++)
            for (int j = 0; j < temp.n; j ++)
                for (int k = 0; k < n; k ++)
                    ans.c[i][j] = (ans.c[i][j] + c[i][k] * temp.c[k][j] % MOD) % MOD;
        return ans;
    }
};

矩阵快速幂：

求矩阵的幂时，也有快速幂计算，这里可以参考普通的快速幂算法。复杂度为 $O(\log n)$

mat mat_pow(mat M, int n) {                     //矩阵快速幂
    mat ans(M.m, M.m);
    for (int i = 0; i < M.m; i ++)
        ans.c[i][i] = 1;
    while (n > 0) {
        if (n & 1) ans = ans * M;
        M = M * M;
        n >>= 1;
    }
    return ans;
}

应用：

在求递推公式时很好用。就拿最简单的斐波那契数列举例，该数列满足：

$F_{0}=0$

$F_{1}=1$

$F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}$

若要求第 $10^{15}$ 项时，显然直接递推是不实际的。这里应该借助矩阵来做，把递推公式改写成如下：

$\binom{F_{n+2}}{F_{n+1}}=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1& 0 \end{pmatrix}\binom{F_{n+1}}{F_{n}}$

因此，可以推出

$\binom{F_{n}}{F_{n-1}}=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1& 0 \end{pmatrix}^{n-1}\binom{1}{0}$

所以只需要用矩阵快速幂求出 $\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1& 0 \end{pmatrix}^{n-1}$ 便可很快地求出结果。

挑战上总结了更为一般的情况：

举个例子，好理解一些：

$F_{1}=A$

$F_{2}=B$

$F_{n}=C*F_{n-2}+D*F_{n-1}+k$

改写成矩阵递推公式就是

$\begin{pmatrix} F_{n}\\ F_{n-1}\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} D & C & k\\ 1 & 0&0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}^{n-2}\begin{pmatrix} B\\ A\\ 1 \end{pmatrix}$