条件概率的逆问题 - 贝叶斯公式

简单来讲，逆问题是指那些需要从结果反推原因的问题，通常，问题X无法被直接观察、测量，此时，我们常会通过其结果Y来反推原因X。

• 通信：根据含有噪声的接受信号Y推测发送信号X
• 语音识别： 根据麦克风识别的音频波形数据Y推测语音信息X
• 文字识别：根据扫描仪读取的图像数据Y推测用户书写的文字X
• 邮件自动过滤： 根据收到的邮件文本Y推测邮件的类型X（是否广告等）

我们来看看这个例子

• 在某个角色扮演游戏中，玩家只要打倒怪物就能获得宝箱。宝箱有2/3的概率有陷阱。玩家虽然可以用魔法来检查陷阱，但这种判断方式并不完美，有1/4的错误概率。
• 假设玩家打倒了怪物，获得了宝箱，并通过魔法判定该宝箱没有陷阱，以此为前提，求“宝箱有陷阱“的概率。

如果以随机变量X表示宝箱有陷阱的概率，以随机变量Y表示魔法的判定结果，该问题通过以下方式表述：

• P(X = 有陷阱) = 2/3
• P(Y = 没有发现 | X = 有陷阱) = 1/4
• P(Y = 发现了 | X = 没有陷阱) = 1/4

求P(X = 有陷阱 | Y = 没有发现)
简单来讲，我们讲讨论以下这种类型的问题

• 已知所有的P(原因)与P(结果)一览
• 求P(原因|结果)，这就是贝叶斯原理

我们来尝试解决这个问题

综上所述，Y=没有发现的区域占整体面积的
1/6 + 1/4 = 5/12
其中，X=有陷阱的比例为
1/6和5/12的比例，即0.4

贝叶斯公式的一般形式：

$$P(X=▲|Y=○ ) = \frac{P(Y=○|X=▲) P(X=▲)}{P(Y=○|X=▲)P(X=▲) + ... + P(Y=○|X=◇)P(X=◇)}$$