第七章 递归、DFS、剪枝、回溯等问题 ------------- 7.3 题解：机器人走方格问题

机器人走方格

一、问题：

　　 有一个X*Y的网格，一个机器人只能走格点且只能向右或向下走，要从左上角走到右下角。 请设计一个算法，计算机器人有多少种走法。 给定两个正整数int x,int y，请返回机器人的走法数目，保证x＋y小于等于12。

二、思路：

　　思考这类看起来很复杂的问题，实际上就越有规律可循，我们先列举一些简单的情况，再由简到繁，逐步得出结果，逐步发现规律。就是说先解决简单情况下的问题，然后再推广到复杂情况下的问题。就比如这道题目，先假如只有1个格子，那很明显只有一种走法，那么我们再去画 1 * 2，2 * 1，1 * 3，3 * 1，也只有1种走法，再去画2 * 2 的方格，发现有两种走法了。

　　当我们处于2 * 2的方格的时候我们可以首先往右走一个方格，那么此时我们处于两行一列的状态，我们也可以往下走一个方格那么我们处于一行两列的情况那么1 * 2与2 * 1的走法我们原来是知道的，所以把这两种走法加起来就得到了2 * 2 方格的走法，也就是两种走法。

　　当我们处于2 * 3的方格的时候我们可以首先往右走一个方格，那么此时我们处于两行两列的状态，我们也可以往下走一个方格那么我们处于一行三列的情况那么2 * 2与1 * 3的情况我们原来是知道的，所以把这两种走法加起来就得到了2 * 3 方格的走法总共有3种走法，依次类推

　　于是我们根据分析就可以得出递推式f(x , y) = f(x - 1, y) + f(x , y - 1)（因为只能向右走和向下走）

　　所以我们可以使用递归的方式来解决这个问题，其次我们也可以使用迭代(递推)的方式来解决，因为涉及到两个变量都在变化，使用一维的变量是不能够保存的，所以要使用二维的数据结构：二维数组来保存从起始点到某一点的走法，比如说a[2][3]=3，表示机器人到这一个点总共有3种走法。

　　使用递归的话就相当于一种富人的思想，把什么都交给手下人去做，自己只负责合并结果，代码很简洁。而迭代(递推)相当于打工者的思想，一步步根据自己的分析得出想要的结果，代码相对来说比递归要复杂一点。

三、代码：　

public class 机器人走格子 {

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(solve(3, 3));   // 输出 6
        System.out.println(solve1(3, 3));  // 输出 6
    }
    
    /**
     * 递归形式
     */
    static int solve(int x,int y){
        if( x==1 || y==1 ) return 1;
        return solve(x-1, y)+solve(x, y-1);
    }
    
    /**
     * 迭代形式
     */
    static int solve1(int m,int n){
        int [][]state = new int[m+1][n+1];
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            state[1][i] = 1;
        }
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            state[i][1] = 1;
        }
        for (int i = 2; i <=m ; i++) {
            for (int j = 2; j <=n ; j++) {
                state[i][j] = state[i][j-1] + state[i-1][j];
            }
        }
        return state[m][n];
    }

}

四、结果：