离散数学 传递闭包 Warshall算法

本文提供了一个简单的Warshall算法实现,该算法用于计算图中的传递闭包。代码使用C++编写,包括输入矩阵、运行Warshall算法及显示结果等功能。

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老师布置一个作业,要写Warshall算法课后,这里给写出来了。

这个算法本身很简单,倒是学习了一下参数为二维数组的传递方法,正确代码如下:

/*
Warshall算法
*/
#include <iostream>
using namespace std;

void Warshall(int a[][12],int m,int n)
{
    int i,j,k;
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=m;j++)
            if(a[j][i]==1)
                for(k=1;k<=n;k++)
                    a[j][k]=(a[j][k]||a[i][k]);
}

void show(int a[][12],int m,int n)
{
    int i,j;

    for(i=1;i<=m;i++)
        for(j=1;j<=n;j++)
            if(j==n)
                cout << a[i][j] <<endl;
            else cout << a[i][j] << ' ';
}
void in(int a[][12],int m,int n)
{
    int i,j;

    for(i=1;i<=m;i++)
        for(j=1;j<=n;j++)
            cin >> a[i][j];
}

int main()
{

    int a[12][12];
    int m,n,i,j;

    cin >> m >> n;
    in(a,m,n);
    Warshall(a,m,n);
    cout <<endl << "Result: " << endl << endl;
    show(a,m,n);

    return 0;

}
<think>好的,用户想了解如何用Warshall算法计算传递闭包,特别是需要示例和步骤。首先,我需要回忆一下Warshall算法的基本原理和步骤。根据提供的引用资料,Warshall算法通过迭代更新一个布尔矩阵来逐步构建传递闭包。时间复杂度是O(n³),适用于有向图。 首先,应该解释传递闭包的定义,确保用户理解基本概念。然后按照步骤分解算法过程。引用4中的代码示例和步骤描述比较详细,可以借鉴。需要将三重循环的数学逻辑转化为容易理解的步骤,比如初始矩阵R⁰,然后依次处理每个中间节点k,更新矩阵中的路径是否存在。 接下来,举一个具体的例子会让用户更清楚。比如,选择一个3x3的邻接矩阵,逐步展示每一步的变化。同时,注意矩阵的索引是否正确,避免用户混淆行和列的顺序。 还要注意LaTeX格式的使用,确保所有数学表达式用$$...$$包裹,比如矩阵的表示。同时,检查是否有语法错误,比如矩阵元素的对齐是否正确。用户提供的引用中有C++代码,但用户可能需要更通用的步骤说明,所以用伪代码或自然语言描述更合适。 最后,生成相关问题时,要围绕算法步骤、复杂度、优化和应用展开,参考用户之前的问题结构。比如,如何分析时间复杂度,优化方法有哪些,以及实际应用场景等。 需要确认所有引用标注正确,比如引用1到4的相关内容是否准确对应到步骤或示例中。另外,确保回答结构清晰,分步骤讲解,让用户能够逐步跟随。可能还需要解释为什么Warshall算法有效,比如动态规划的思想,或者归纳法的应用,但根据用户的问题,可能示例和步骤更为重要,理论解释可以简略。 在示例部分,选择一个简单的矩阵,比如3个节点的图,这样每一步的变化不会太复杂,方便用户理解。例如,初始矩阵R⁰可能有0和1,然后逐步处理k=1,2,3的情况,更新每个R⁶矩阵中的元素。需要详细写出每个步骤的更新过程,并说明如何判断是否更新。 最后,检查是否符合用户的所有要求,包括中文回答、LaTeX格式正确、生成相关问题等。确保没有遗漏任何系统级指令,比如行内公式用$...$,独立公式用$$...$$,并且代码块用正确的语法高亮。</think>### Warshall算法计算传递闭包步骤详解 传递闭包矩阵$R$用于表示有向图中所有顶点对的可达关系。设原邻接矩阵为$A$,则传递闭包满足:当存在路径从$i$到$j$时,$R[i][j]=1$,否则为0。 #### 算法步骤 1. **初始化**:令传递闭包矩阵$R^{(0)} = A$ 2. **迭代更新**:对每个中间顶点$k$(从1到n): - 遍历所有顶点对$(i,j)$ - 若$R^{(k-1)}[i][j]=1$ 或($R^{(k-1)}[i][k]=1$ 且 $R^{(k-1)}[k][j]=1$),则$R^{(k)}[i][j]=1$ - 矩阵更新公式:$$ R^{(k)}[i][j] = R^{(k-1)}[i][j] \lor (R^{(k-1)}[i][k] \land R^{(k-1)}[k][j]) $$ 3. **终止条件**:当处理完所有$k$时,$R^{(n)}$即为传递闭包矩阵[^4] #### 计算示例 假设初始邻接矩阵为: $$ R^{(0)} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$ **第1步(k=1)**: - 检查所有i,j是否可以通过顶点1中转 - 更新后矩阵不变(因为第1行没有可传播的1) $$ R^{(1)} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$ **第2步(k=2)**: - 发现路径:顶点1→2→3 - 更新$R^{(2)}[1][3] = 1$ $$ R^{(2)} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$ **第3步(k=3)**: - 没有新的路径产生 - 最终传递闭包矩阵: $$ R^{(3)} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$ #### 代码实现(Python) ```python def warshall(matrix): n = len(matrix) for k in range(n): for i in range(n): for j in range(n): matrix[i][j] = matrix[i][j] or (matrix[i][k] and matrix[k][j]) return matrix ```
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