#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <bits/stdc++.h>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 100010;
const int M = maxn * 30;
int q, n, m, tot;
int a[maxn], t[maxn];
int T[maxn], lson[M], rson[M], c[M];
void Init_hash()
{
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        t[i] = a[i];
    }
    sort(t + 1, t + 1 + n);
    m = unique(t + 1, t + 1 + n) - t - 1;

}
int build(int l, int r)
{
    int root = tot++;
    c[root] = 0;
    if (l != r) {
        int mid = (l + r) >> 1;
        lson[root] = build(l, mid);
        rson[root] = build(mid + 1, r);
    }
    return root;
}
int Hash(int x)
{
    return lower_bound(t + 1, t + 1 + m, x) - t;
}
int update(int root, int pos, int val)
{
    int newroot = tot++, tmp = newroot;
    c[newroot] = c[root] + val;
    int l = 1, r = m;
    while (l < r) {
        int mid = (l + r) >> 1;
        if (pos <= mid) {
            lson[newroot] = tot++;
            rson[newroot] = rson[root];
            newroot = lson[newroot];
            root = lson[root];
            r = mid;
        } else {
            rson[newroot] = tot++;
            lson[newroot] = lson[root];
            newroot = rson[newroot];
            root = rson[root];
            l = mid + 1;
        }
        c[newroot] = c[root] + val;
    }
    return tmp;
}
int query(int left_root, int right_root, int k)
{
    int l = 1, r = m;
    while (l < r) {
        int mid = (l + r) >> 1;
        if (c[lson[left_root]] - c[lson[right_root]] >= k) {
            r = mid;
            left_root = lson[left_root];
            right_root = lson[right_root];

        } else {
            l = mid + 1;
            k -= c[lson[left_root]] - c[lson[right_root]];
            left_root = rson[left_root];
            right_root = rson[right_root];
        }
    }
    return l;
}
int main()
{
    while (~scanf("%d%d", &n, &q)) {
        tot = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            scanf("%d", &a[i]);
        }
        Init_hash();
        T[n + 1] = build(1, m);
        for (int i = n; i > 0; i--) {
            int pos = Hash(a[i]);
            T[i] = update(T[i + 1], pos, 1);
        }
        while (q--) {
            int l, r, k;
            scanf("%d%d%d", &l, &r, &k);
            printf("%d\n", t[query(T[l], T[r + 1], k)]);
        }
    }
    return 0;
}

线段树：

将数组构建成一棵二叉树，方便于区间查询，单点更新

看网上视频写的板子

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int maxn = 1e8 + 5;
int arr[maxn], tree[maxn];
void build(int node, int start, int emd)
{
    if (start == emd) {
        tree[node] = arr[start];
    } else {
        int mid = (start + emd) / 2;
        int left_node = 2 * node + 1;
        int right_node = 2 * node + 2;
        build(left_node, start, mid);
        build(right_node, mid + 1, emd);
        tree[node] = tree[left_node] + tree[right_node];
    }
}

void update(int node, int start, int emd, int idx, int val)
{
    if (start == emd) {
        arr[idx] = val;
        tree[node] = val;
    } else {
        int mid = (start + emd) / 2;
        int left_node = 2 * node + 1;
        int right_node = 2 * node + 2;
        if (idx >= start && idx <= mid) {
            update(left_node, start, mid, idx, val);
        } else {
            update(right_node, mid + 1, emd, idx, val);
        }
        tree[node] = tree[left_node] + tree[right_node];
    }
}

int query(int node, int start, int emd, int L, int R)
{
    if (R < start || L > emd) {
        return 0;
    } else if (L <= start && R >= emd) {
        return tree[node];
    } else if (start == emd) {
        return tree[node];
    } else {
        int mid = (start + emd) / 2;
        int left_node = node * 2 + 1;
        int right_node = node * 2 + 2;
        int sum_left = query(left_node, start, mid, L, R);
        int sum_right = query(right_node, mid + 1, emd, L, R);
        return sum_left + sum_right;
    }
}
int main()
{
    int n, c, k;
    scanf("%d%d%d", &n, &c, &k);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%d", &arr[i]);
    }
    build( 0, 0, n - 1);// 建树
    printf("%d\n", query(0, 0, n - 1, 2, 5));
    //查询区间2,5之内的和
    return 0;
}

最大流 = 最小割：

从A地到B地有很多条路可以走并且每条路可能会有宽窄不同的地方（即权值不同）最大流就是从A地到B地可以通过的最大流量的和因为到比较窄的地方就只能通过那么一些流量即时后来路变宽了还是那么点流量……

从最小割的理解看就是使割掉的边的权值最小然后使两点间没有通路的边权之和

逆元：

$\frac{a}{b}\, mod\: p$ 因为分数无法取模这时候需要用到逆元 inv[b] 是 b 关于 p 的逆元所以

$\frac{a}{b}\, mod\: p =(a *inv[b])mod\, p$

威尔逊定理：

当且仅当p为素数时， (p - 1)! ≡ (-1) mod p

阶乘：

N！= N*（N-1）*(N-2)……*2*1 注意 0！=1

快速幂：

通过二进制转换，将乘的次数分解，减少次数消耗的时间

快速乘：

与快速幂相似，比正常乘法快一些，也避免乘法过程中爆int / long long范围

Pollard Rho+Miller Rabin：大素数判断和素因子分解

//判断素数
bool Miller_Rabin(LL n)
{
    if(n == 2) return true;
    if(n < 2 || !(n & 1)) return false;
    LL m = n - 1;
    int k = 0;
    while((m & 1) == 0)
    {
        k++;
        m >>= 1;
    }
    for(int i=0; i<Times; i++)
    {
        LL a = rand() % (n - 1) + 1;
        LL x = quick_mod(a, m, n);
        LL y = 0;
        for(int j=0; j<k; j++)
        {
            y = multi(x, x, n);
            if(y == 1 && x != 1 && x != n - 1) return false;
            x = y;
        }
        if(y != 1) return false;
    }
    return true;
}
//分解素数
LL pollard_rho(LL n, LL c)
{
    LL i = 1, k = 2;
    LL x = rand() % (n - 1) + 1;
    LL y = x;
    while(true)
    {
        i++;
        x = (multi(x, x, n) + c) % n;
        LL d = gcd((y - x + n) % n, n);
        if(1 < d && d < n) return d;
        if(y == x) return n;
        if(i == k)
        {
            y = x;
            k <<= 1;
        }
    }
}

一些数论知识：

https://zerol.me/2018/08/29/number-theory/

离散化：

将范围较大的有限个数据变成较小的数，使数据中的最大值尽可能小且保证所有数据都是正数。

理解参考：https://blog.youkuaiyun.com/qq_41754350/article/details/81199993

栗子：12342434 12312 234234 12342434

可以离散化变成 3 1 2 3

数据一下子变小了比较也更容易

板子如下：

#include<algorithm> 
#include <bits/stdc++.h>
//n 原数组大小 num 原数组中的元素 lsh 离散化的数组 cnt 离散化后的数组大小
using namespace std;
int main()
{ 
    int lsh[MAXN] , cnt , num[MAXN] , n;
    for(int i=1; i<=n; i++) {
	    scanf("%d",&num[i]);
    	lsh[i] = num[i];	
    }
    sort(lsh+1 , lsh+n+1);
    cnt = unique(lsh+1 , lsh+n+1) - lsh - 1;
    for(int i=1; i<=n; i++)
	    num[i] = lower_bound(lsh+1 , lsh+cnt+1 , num[i]) - lsh;
    for(int i=1; i<=n; i++)
        printf("%d ",num[i]);
    return 0;
}

在某个博客上看到了很神奇的操作

暂时没看明白先贴上代码emm

struct Node{
int val, order;
}node[maxn];
 
for(int i=1; i<=n; i++) {
    if(i==1 || node[i].val!= node[i-1].val) { //去重
        r[node[i].order] = i;
    }
}

来源：https://blog.youkuaiyun.com/qq_41754350/article/details/81199993

先酱~~

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