POJ3904 Sky Code 容斥原理 or 莫比乌斯反演

最新推荐文章于 2020-02-02 22:35:30 发布

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本文通过POJ3904题目解析了如何利用莫比乌斯反演解决复杂数学问题，详细介绍了使用容斥原理求解四个互质数组合数的过程，包括质因数分解、二进制枚举及组合数计算。

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在做题的时候遇到了莫比乌斯反演

所以就想找个题目做做

POJ3904

题目大意：

给出n 以及 n 个数字

找到四个互质的数有多少种

即求gcd（a,b,c,d）=1的情况数

可以用容斥原理

找到四个数不互质的情况然后用总数减去这些情况就是互质的

参考：https://blog.youkuaiyun.com/lianai911/article/details/47609075

四个数的公约数为1，并不代表四个数两两互质。

比如(2，3，4，5)公约数为1，但是2和4并不互质。

从反面考虑，先求出四个数公约数不为1的情况个数，用总的方案个数减去四个数公约数不为1的情况个数就是所求。

求四个数公约数不为1的情况个数，需要将N个数每个数质因数分解，纪录下所有不同的素因子所能组成的因子(就是4个数的公约数)，并统计构成每种因子的素因子个数和因子总数。然后再计算组合数。

举个栗子：因子2的个数为a，则四个数公约数为2的个数为C(a，4)，因子3的个数为b，则四个数公约数为3的个数为C(b，4)，因子6(2*3)的个数为c，则四个数公约数的个数为C(c，4)。但是公约数为2的情况中或者公约数为3的情况中可能包括公约数为6的情况，相当于几个集合求并集，这就需要容斥定理来做。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <math.h>
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
ll const mod = 998244353;
ll const maxn = 1e4 + 5;
ll c[maxn], a[maxn], p[maxn];
ll cnt, fac[maxn];
void gett()//算出c(4,n)
{
    for (ll i = 1; i < maxn; i++) {
        c[i] = i * (i - 1) * (i - 2) * (i - 3) / 24;
    }
}

void fen(ll n)//素因子分解
{
    for (ll i = 2; i * i <= n; i++) {
        if (n % i == 0) {
            fac[cnt] = i;
            while (n % i == 0) {
                n /= i;
            }
            cnt++;
        }
    }
    if (n > 1) {
        fac[cnt++] = n;
    }

}
void ac(ll x)//得到素因子个数 二进制枚举
{
    cnt = 0;
    fen(x);
    for (ll i = 1; i < (1 << cnt) ; i++) {
        ll temp = 1, k = 0;
        for (ll j = 0; j < cnt; j++) {
            if (i & (1 << j)) {//与i的二进制的第j位比较 看是否为1，是则选中
                temp *= fac[j];
                k++;//计算i中1的个数 也就是质因数的个数
            }
        }
        a[temp]++;
        p[temp] = k;
    }
}

int main()
{
    gett();
    ll n;
    while (~scanf("%I64d", &n)) {
        memset(a, 0, sizeof a);
        ll x;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            scanf("%I64d", &x);
            ac(x);
        }
        ll ans = 0;
        for (int i = 2; i < maxn; i++) {
            if (a[i]) {
                if (p[i] & 1) {//& 1判断奇偶
                    ans += c[a[i]];
                } else {
                    ans -= c[a[i]];
                }
            }
        }
        printf("%I64d\n", c[n] - ans);
    }
    return 0;
}

二进制枚举参考：https://www.cnblogs.com/SunQi-lvbu/p/7305779.html

（还没有完全搞懂留一个坑emm）

也可以用莫比乌斯反演

关于莫比乌斯反演的概念：https://www.luogu.org/blog/An-Amazing-Blog/mu-bi-wu-si-fan-yan-ji-ge-ji-miao-di-dong-xi

关于莫比乌斯反演的考查方式：https://blog.youkuaiyun.com/tc_to_top/article/details/49130111

不会啊留着……改天再做