POJ3904 Sky Code 容斥原理 or 莫比乌斯反演

本文通过POJ3904题目解析了如何利用莫比乌斯反演解决复杂数学问题,详细介绍了使用容斥原理求解四个互质数组合数的过程,包括质因数分解、二进制枚举及组合数计算。

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在做题的时候遇到了莫比乌斯反演 

所以就想找个题目做做

POJ3904

题目大意:

给出n 以及 n 个数字

找到四个互质的数有多少种

即 求gcd(a,b,c,d)=1的情况数

可以用容斥原理 

找到四个数不互质的情况 然后用总数减去这些情况 就是互质的

参考:https://blog.youkuaiyun.com/lianai911/article/details/47609075

四个数的公约数为1,并不代表四个数两两互质。

比如(2,3,4,5)公约数为1,但是2和4并不互质。

从反面考虑,先求出四个数公约数不为1的情况个数,用总的方案个数减去四个数公约数不为1的情况个数就是所求。

求四个数公约数不为1的情况个数,需要将N个数每个数质因数分解,纪录下所有不同的素因子所能组成的因子(就是4个数的公约数),并统计构成每种因子的素因子个数和因子总数。然后再计算组合数。

举个栗子:因子2的个数为a,则四个数公约数为2的个数为C(a,4),因子3的个数为b,则四个数公约数为3的个数为C(b,4),因子6(2*3)的个数为c,则四个数公约数的个数为C(c,4)。但是公约数为2的情况中或者公约数为3的情况中可能包括公约数为6的情况,相当于几个集合求并集,这就需要容斥定理来做。
 

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <math.h>
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
ll const mod = 998244353;
ll const maxn = 1e4 + 5;
ll c[maxn], a[maxn], p[maxn];
ll cnt, fac[maxn];
void gett()//算出c(4,n)
{
    for (ll i = 1; i < maxn; i++) {
        c[i] = i * (i - 1) * (i - 2) * (i - 3) / 24;
    }
}

void fen(ll n)//素因子分解
{
    for (ll i = 2; i * i <= n; i++) {
        if (n % i == 0) {
            fac[cnt] = i;
            while (n % i == 0) {
                n /= i;
            }
            cnt++;
        }
    }
    if (n > 1) {
        fac[cnt++] = n;
    }

}
void ac(ll x)//得到素因子个数 二进制枚举
{
    cnt = 0;
    fen(x);
    for (ll i = 1; i < (1 << cnt) ; i++) {
        ll temp = 1, k = 0;
        for (ll j = 0; j < cnt; j++) {
            if (i & (1 << j)) {//与i的二进制的第j位比较 看是否为1,是则选中
                temp *= fac[j];
                k++;//计算i中1的个数 也就是质因数的个数
            }
        }
        a[temp]++;
        p[temp] = k;
    }
}

int main()
{
    gett();
    ll n;
    while (~scanf("%I64d", &n)) {
        memset(a, 0, sizeof a);
        ll x;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            scanf("%I64d", &x);
            ac(x);
        }
        ll ans = 0;
        for (int i = 2; i < maxn; i++) {
            if (a[i]) {
                if (p[i] & 1) {//& 1判断奇偶
                    ans += c[a[i]];
                } else {
                    ans -= c[a[i]];
                }
            }
        }
        printf("%I64d\n", c[n] - ans);
    }
    return 0;
}

二进制枚举参考:https://www.cnblogs.com/SunQi-lvbu/p/7305779.html

(还没有完全搞懂 留一个坑emm)

也可以用莫比乌斯反演

关于莫比乌斯反演的概念:https://www.luogu.org/blog/An-Amazing-Blog/mu-bi-wu-si-fan-yan-ji-ge-ji-miao-di-dong-xi

关于莫比乌斯反演的考查方式:https://blog.youkuaiyun.com/tc_to_top/article/details/49130111

 

不会啊 留着……改天再做

<think>嗯,用户想了解如何在C语言中实现容斥原理的应用,并且需要示例代码。首先,我需要回忆一下容斥原理的基本概念。容斥原理通常用于计算多个集合的并集大小,通过交替加减不同集合的交集来避免重复计算。这在组合数学和算法问题中很常见,比如计算满足某些条件的数的个数。 接下来,我得想想如何在C语言中具体实现这个原理。通常,容斥原理的实现会涉及到遍历所有可能的子集组合,然后根据子集的大小来决定是加还是减。例如,对于m个集合,需要遍历从1到2^m-1的所有子集,然后计算每个子集的交集大小,并根据子集元素的奇偶性来决定符号。 然后,用户提供的引用中有几个代码示例,比如引用[1]中的代码,看起来像是使用位运算来生成子集,并且通过递归的gcd函数来计算最小公倍数。这可能是一个应用容斥原理的例子,用于计算在n范围内能被多个数整除的数的数量。例如,计算1到n中能被数组l中的至少一个数整除的数的个数,这可以通过容斥原理来避免重复计算。 我需要将这些思路整理成一个清晰的步骤,解释如何用C语言实现容斥原理。首先,可能需要一个函数来计算最大公约数(gcd),然后计算最小公倍数(lcm),因为交集的大小通常涉及到lcm。例如,两个数的lcm是它们的乘积除以gcd。然后,遍历所有子集,对于每个子集,计算这些数的lcm,并根据子集的大小决定加减。 然后,考虑示例代码的结构。引用[1]中的代码似乎是这样做的:输入n和m,然后输入m个数,遍历所有可能的子集(通过位掩码k从0到2^m-1),计算每个子集的lcm,并根据子集的元素个数奇偶性来调整总和s的值。例如,如果子集有奇数个元素,就减去n/lcm,否则加上。这是因为容斥原理中,奇数次交集加,偶数次减,但这里可能是相反,需要仔细看代码逻辑。 此外,用户提到的引用[2]和[3]可能涉及其他应用场景或优化方法,比如使用前缀和或其他数据结构来简化计算。不过当前问题主要是容斥原理的实现,所以可能需要集中在位运算遍历子集和lcm的计算上。 在解释代码时,需要分步骤说明,比如如何生成子集,如何计算交集大小,如何处理符号。同时,需要给出具体的例子,比如计算1到n中能被至少一个数整除的个数,并解释代码的运行流程。 可能还需要提到代码中的关键点,比如如何用位掩码k来枚举子集,如何通过位与操作检查哪些元素被包含在当前子集中,如何维护当前子集的lcm,以及如何处理溢出问题(比如r可能会超过n,这时候可以提前终止)。 最后,应用场景部分需要举几个实际的例子,比如数学问题中的计数,或者几何问题中的区域计算,引用中的几何工具应用可能相关,比如poj题目中的几何问题可能用到容斥原理来计算覆盖区域。 总结来说,回答需要包括容斥原理的C语言实现步骤,示例代码的解释,以及应用场景的举例。同时,根据用户提供的引用,特别是引用[1]中的代码,可能需要将其作为示例进行详细说明,并引用相关部分。</think>### C语言中容斥原理的实现与应用 #### 一、容斥原理基础 容斥原理用于计算多个集合的并集大小,公式为: $$|A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_m| = \sum |A_i| - \sum |A_i \cap A_j| + \sum |A_i \cap A_j \cap A_k| - \dots + (-1)^{m+1}|A_1 \cap \dots \cap A_m|$$ #### 二、实现步骤 1. **位运算枚举子集** 通过二进制位掩码遍历所有子集组合(共$2^m-1$种),例如: ```c for (int k = 1; k < (1 << m); k++) ``` 2. **计算集合交集** 使用最大公约数(GCD)和最小公倍数(LCM)处理交集: ```c int gcd(int a, int b) { return b ? gcd(b, a % b) : a; } long long lcm(long long a, long long b) { return a / gcd(a, b) * b; } ``` 3. **符号控制** 根据子集元素个数的奇偶性决定加减符号: ```c if (__builtin_popcount(k) % 2) sum += n / current_lcm; else sum -= n / current_lcm; ``` #### 三、完整示例代码 以下代码实现**计算1~n中能被数组l中任意数整除的数的个数**: ```c #include <stdio.h> int gcd(int a, int b) { return b ? gcd(b, a % b) : a; } int main() { int n, m, l[15]; while (scanf("%d%d", &n, &m) != EOF) { for (int i = 0; i < m; i++) scanf("%d", &l[i]); int result = 0; for (int k = 1; k < (1 << m); k++) { long long current_lcm = 1; int cnt = 0; for (int i = 0; i < m; i++) { if (k & (1 << i)) { current_lcm = current_lcm / gcd(current_lcm, l[i]) * l[i]; if (current_lcm > n) break; // 防止溢出 cnt++; } } if (cnt % 2) result += n / current_lcm; else result -= n / current_lcm; } printf("%d\n", result); } return 0; } ``` #### 四、关键代码解析 1. **位掩码遍历** `k`从1到$2^m-1$遍历所有非空子集,每位表示是否选中对应元素[^1]。 2. **动态计算LCM** 通过不断更新`current_lcm`处理多个数的LCM,同时防止数值溢出[^3]。 3. **奇偶性判断** `__builtin_popcount(k)`统计二进制中1的个数,决定加减符号[^2]。 #### 五、应用场景 1. **数学问题** 计算区间内满足多个条件的整数数量(如同时被2/3/5整除的数)。 2. **几何覆盖** 求多个几何图形覆盖区域的总面积(如圆、矩形的交集计算)[^4]。 3. **组合计数** 解决排列组合中的包含排除问题,如错位排列数的计算。
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