【从零开始数学建模（4）】效用函数与无差别曲线

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#数学建模

于 2023-09-30 19:09:57 首次发布

文章讲述了效用在经济学中的重要性，通过实物交换和无差别曲线模型解释消费者如何根据偏好选择商品，涉及边际效用递减、无差别曲线的性质以及效用最大化的原理，包括等价交换准则和商品价格对消费决策的影响。

效用（Utility），是经济学中最常用的概念之一。效用：消费者拥有或消费商品或服务对欲望的满足程度被称为商品或服务的效用。一种商品或服务效用的大小取决于消费者的主观心理评价，由消费者欲望的强度所决定。经济学家用它来解释有理性的消费者如何把他们有限的资源分配在能给他们带来最大满足的商品上。在维多利亚女王时代，哲学家和经济学家曾经轻率的将效用当做一个人整个福利指标。效用一度被认为是个人快乐的数学测度。

——百度百科

以一个简单的实物交换的例子来理解效用

甲有面包若干，乙有香肠若干。二人共进午餐时希望相互交换一部分，达到双方满意的结果。这种实物交换问题可以出现在个人之间或国家之间的各种类型的贸易市场上。显然，交换的结果取决于双方对两种物品的偏爱程度，而偏爱程度很难给出确切的定量关系，我们用作图的方法对双方将如何交换实物建立一个模型。

设交换前甲占有物品 $eq?X$ 的数量为 $eq?x_%7B0%7D$ ，乙占有物品 $eq?Y$ 的数量为 $eq?y_%7B0%7D$ ，交换后甲占有物品 $eq?X$ 和 $eq?Y$ 的数量分别为 $eq?x$ 和 $eq?y$ 。于是乙占有 $eq?X$ 和 $eq?Y$ 的数量为 $eq?x_%7B0%7D-x$ 和 $eq?y_%7B0%7D-y$ 。
这样在 $eq?xOy$ 平面直角坐标系上，长方形 $eq?0%5Cleq%20x%5Cleq%20x_%7B0%7D%2C0%5Cleq%20y%5Cleq%20y_%7B0%7D$ 内任一点的坐标 $eq?%28%20x%20%2C%20y%20%29$ 都代表了一种交换方案(图1)。

用无差别曲线描述甲对物品和的偏爱程度。如果占有 $eq?x_%7B1%7D$ 数量的 $eq?X$ 和 $eq?y_%7B1%7D$ 数量的 $eq?Y$ （图1中的 $eq?p_%7B1%7D$ 点）与占有 $eq?x_%7B2%7D$ 数量的 $eq?X$ 和 $eq?y_%7B2%7D$ 数量的 $eq?Y$ （图1中的 $eq?p_%7B2%7D$ 点)，对甲来说是同样满意的话，称 $eq?p_%7B1%7D$ 和 $eq?p_%7B2%7D$ 对甲是无差别的。或者说 $eq?p_%7B2%7D$ 与 $eq?p_%7B1%7D$ 相比，甲愿意以 $eq?Y$ 的减少 $eq?y_%7B1%7D-y_%7B2%7D$ 换取 $eq?X$ 的增加 $eq?x_%7B2%7D-x_%7B1%7D$ 。所有与 $eq?p_%7B1%7D$ ， $eq?p_%7B2%7D$ 具有同样满意程度的点组成一条甲的无差别曲线 $eq?MN$ ，而比这些点的满意程度更高的点如 $eq?p_%7B3%7D%28x_%7B3%7D%2Cy_%7B3%7D%29$ 则位于另一条无差别曲线 $eq?M_%7B1%7DN_%7B1%7D$ 上。这样，甲有无数条无差别曲线，不妨将这族曲线记作