本文介绍了工科数学分析中更序问题和级数乘法的相关概念。更序定理表明，如果级数绝对收敛，那么调换其项的次序后，新级数仍会收敛并保持相同的和。对于条件收敛级数，更序可能导致不同的收敛值。此外，文章还讨论了柯西乘积，即两个级数的乘积形式，但未保证在条件收敛时的收敛性。
更序问题
级数什么时候交换律适用？
更序定理
如果级数 ∑ a n \sum a_n ∑an绝对收敛，则任意调换 a n a_n an次序后得到的新级数 ∑ b n \sum b_n ∑bn也一定收敛，而且 ∑ a n = ∑ b n \sum a_n = \sum b_n ∑an=∑bn
证明：
- 当 a n a_n an为正项数列，则 B n = ∑ b n < = A = ∑ 1 ∞ a n B_n=\sum b_n <= A = \sum_1^\infty a_n Bn=∑bn<=A=∑1∞an
B n B_n Bn有界，所以 b n b_n bn收敛。
互为更序，也可以得到 A n < = B A_n <= B An<=B，所以 ∑ a n = ∑ b n \sum a_n = \sum b_n ∑an=∑bn - 若 a n a_n an为任意数列，可将 a n a_n an的正、负项分成两部。取绝对值之后记为 a n + 、 a n − a_n^+、a_n^- an+、an−
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