【贪心】Uva1614奇怪的股市

序列加权和零判断

最新推荐文章于 2024-04-22 14:41:42 发布

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本文探讨了一种算法，用于判断一个序列是否可以通过分配正负号使得所有元素的加权和为零。通过数学归纳法证明了算法的有效性，并提供了一个O(n)的解决方案。

题意：

给出一个长度为n的序列a，满足1<=a[i]<=i，给每个数分配一个正号或负号，求是否能让这些数加起来为0，如果是输出每个数的正负（任意方案）。

题解：

如果a数组每个元素加起来不为2的倍数，就无解
因为正负号不会影响奇偶
若当前没被判无解，就从后往前扫一遍，记录一个sum，如果当前sum<=0，那么给当前数分配正号，然后sum加上这个数，如果sum>0，分配负号，sum减去这个数。
这样做一定能保证最终sum为0

证明：

设当前扫到了位置i（还未处理i），那么|sum|<=i+1
考虑数学归纳法
对于i==n，显然成立
假设这个对于上一个数来说成立，也就是说，当考虑i+1时，|sum|<=i+2
由于a[i+1]>=1，所以如果sum不为0，那它要么变号，要么绝对值减小，如果变号，|sum|也一定<=i
换句话说，我们害怕的情况是|sum|=i+2并且a[i+1]=0，而a[i+1]>=1，所以不会出现这样的情况
那么此时最坏的情况是|sum|=0，并且a[i+1]=i+1，此时|sum|=i+1，仍满足条件，所以结论成立
所以对于位置1，|sum|<=2
此时如果sum=-2,2,0，早就被判无解了
所以sum=1,-1
然后a[i]必须=1
sum就被怼成0了
O(n)，很温和很舒服

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define MAXN 100006
using namespace std;
int n,ans[MAXN],a[MAXN];
int main()
{
	while(~scanf("%d",&n))
	{
		int sum=0;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			scanf("%d",&a[i]);
			sum^=(a[i]%2);
		}
		if(sum==1)
		{
			printf("No\n");
			continue;
		}
		for(int i=n;i>=1;i--)
		{
			if(sum>0)
			{
				ans[i]=-1;
				sum-=a[i];
			}
			else
			{
				ans[i]=1;
				sum+=a[i];
			}
		}
		printf("Yes\n");
		for(int i=1;i<=n;i++)
			printf("%d ",ans[i]);
		printf("\n");
	}
}