递推例子

本文针对PKUACM 3088问题,使用动态规划方法求解特定组合数量。定义dp[i][p]表示有i个数字且必须使用p种不同类型的组合数。通过递归公式dp[i][1]=i和dp[i][p]=C[i][p]*dp[p][p]进行计算,并特别解释了dp[i][i]的情况。

题目是pku acm 3088

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3088

要求出组合的数量。 令dp[i][p]为有i个数字,而必须用p个的种类。

   则dp[i][1] = i;  (j==1)

  dp[i][p] = C[i][p] * dp[p][p];   (p>1 p<i)    C表示排列组合的取法,也用递推一次写好

dp[i][i] 可以理解成两种情况之和 1: 一次全按 2: 两种组合的相加A+B,并且A,B都非空,也就是说A,B 都属于

dp[i][p],p<i. 又因为dp[i]i]可以有AB也可以交换顺序成BA,就是两种可能性而 dp[i][p],p<i有A和B也是两种可能性。

所以dp[i][i]等于dp[i][1]+dp[i][2]+....+dp[i][i-1] +1 



<think>好的,我需要回答用户关于使用Scratch实现简单递推算法的示例。首先,用户提到了昆虫繁殖的问题,这应该是一个递推的经典案例,类似于斐波那契数列,但可能有不同的规则。用户之前的问题中提到的算法3是关于递推的,所以需要参考那个例子。 首先,我要确定用户的需求:他们想要一个Scratch的递推示例代码。可能需要将昆虫繁殖的问题转化为Scratch项目。用户可能对Scratch的积木块不太熟悉,所以需要给出清晰的步骤和可能的代码结构。 接下来,我需要回忆Scratch的基本功能,比如变量、循环和列表的使用。递推通常需要存储之前的状态,所以可能需要用列表来保存每个月的成虫数量。例如,每个月的新成虫数量可能依赖于前几个月的卵的数量。 根据问题描述,昆虫繁殖的规则是:每对成虫过x个月产y对卵,卵需要两个月变成成虫,且成虫不死。第一个月只有一对成虫,且成虫在变成成虫后的第一个月不产卵(即过x个月后才开始产卵)。需要计算z个月后的成虫对数。 我需要将这些规则转化为递推公式。可能的递推关系式需要考虑成虫数量和卵的数量。假设当前是第n个月,成虫数量为adult[n],卵的数量为egg[n]。那么: - 成虫在第n个月的来源包括之前的成虫(因为不死)和两个月前的卵(因为卵需要两个月变成成虫)。 - 卵的数量是当前月份前x个月的成虫数量乘以y,因为每对成虫在x个月后产y对卵。 所以递推式可能为: adult[n] = adult[n-1] + egg[n-2] egg[n] = adult[n - x] * y (当n >=x+1时,否则为0) 但需要考虑初始条件。例如,前x个月,成虫可能还没有开始产卵,所以egg的数量为0,直到第x+1个月才开始产卵。而卵变成成虫需要两个月,所以前两个月可能没有新成虫加入。 不过可能需要更仔细的分析。例如,第1个月只有1对成虫,不产卵。到第x个月后,他们开始产卵。产卵后的卵需要再过两个月才能成为成虫。例如,如果x=1,那么成虫在第1个月结束后产卵,这些卵在第3个月变成成虫。 所以,每个月的成虫数量由之前的成虫加上两个月前的卵数量。而每个月的卵数量是当前月份减去x个月的成虫数量乘以y,但只有当月份大于等于x时才有卵产生。 在Scratch中实现这个可能需要用列表来记录每个月的成虫和卵的数量。初始化前x个月的卵为0,之后根据递推式计算。 接下来,如何在Scratch中实现这个?可能需要用变量来跟踪当前月份,直到达到z个月。使用列表来存储每个月的成虫和卵的数量。 步骤可能包括: 1. 初始化变量:x, y, z,成虫列表,卵列表。 2. 设置初始值:第1个月成虫为1对,卵为0。之后到第x个月,成虫可能都是1,卵为0,直到第x+1个月开始产卵。 3. 循环从2到z个月,计算每个月的成虫和卵数量。 4. 在循环中,计算当前月份的成虫数量为前一个月的成虫数量加上两个月前的卵数量(如果存在的话)。 5. 计算当前月份的卵数量:如果当前月份大于x,则等于(当前月份 -x)的成虫数量乘以y,否则为0。 但是需要注意,当月份超过x时,成虫可能在产卵。例如,如果x=2,那么在第3个月,成虫在第3个月产卵,这些卵在第5个月变成成虫。 或者,可能需要更精确的递推关系。例如,成虫在每个月结束后产卵,所以第n个月产的卵会在n + 2个月变成成虫。但根据问题描述,卵需要过两个月才能变成成虫。例如,在第n个月产的卵,会在n+2个月成为成虫。因此,当前月份的成虫数量等于上个月的成虫数量加上当前月份-2个月的卵数量。 但原问题中的描述是:每对卵要过两个月长成成虫。因此,卵在第n个月产下,将在n+2个月变成成虫。例如,假设在月份3产卵,这些卵在月份5变成成虫。 所以,递推式应该是: 当月份n <=x时,成虫数量为1(初始),且不会产卵。 当月份n >x时,成虫开始产卵。因此,第n个月产的卵数量为成虫在n-x个月时的数量乘以y。因为这些成虫在n-x个月时满足条件,过了x个月后产卵。 例如,x=3,当前月份是5,那么成虫在月份5-3=2时存在,所以产卵的数量是成虫[2] * y。 这些卵将在月份5 +2 =7时变成成虫,所以在月份7的成虫数量会增加这些卵的数量。 所以,可能递推式为: 对于每个月份n: 成虫[n] = 成虫[n-1] + 卵[n-2] 卵[n] = 如果n >x,则成虫[n -x] * y,否则0 但这里可能需要调整索引,因为初始月份是1。 例如,当n=1时,成虫[1]=1,卵[1]=0。 当n=2时,成虫[2]=1 +卵[0],但卵[0]不存在。所以可能需要初始化卵列表的前两个元素为0。 或者,把月份从1开始,当计算卵[n]时,如果n >x,则成虫[n -x] * y。例如,x=2,当n=3时,成虫[3-2=1]的成虫数量是1,所以卵[3]=1*y。 这些卵会在n+2=5月变成成虫,所以在n=5时,成虫[5] = 成虫[4] + 卵[3]。 这样,可能需要两个列表,成虫列表和卵列表,每个索引代表月份。 现在,如何在Scratch中实现这个? 首先,用户可能需要用变量来存储x, y, z,然后通过循环来计算每个月的成虫和卵的数量,直到到达z个月。在Scratch中,可能需要使用列表来存储每个月的成虫和卵数量。例如,创建两个列表:“成虫”和“卵”,每个元素对应每个月的数量。 初始化时,将月份1的成虫设为1,卵为0。然后,对于每个月份从2到z,计算对应的成虫和卵数量。 需要注意的是,当月份n <=x时,卵[n] =0,因为成虫还没有开始产卵。当n >x时,卵[n] = 成虫[n -x] * y。然后,成虫[n] = 成虫[n-1] + 卵[n-2](因为卵需要两个月才能成为成虫)。 例如,当x=1时,成虫在第1个月结束后产卵,卵在第1个月结束时产下,那么在n=2时,卵[2] = 成虫[2-1=1] * y =1*y。这些卵会在n=2+2=4时变成成虫,所以成虫[4] = 成虫[3] + 卵[2]。 这样,在月份n,成虫的数量等于前一个月的数量加上两个月前的卵的数量。 所以,在Scratch中的实现步骤可能如下: 1. 创建变量x、y、z,并设置它们的值(例如,通过询问用户输入)。 2. 创建两个列表:“成虫列表”和“卵列表”。 3. 初始化列表:将月份1的成虫设为1,卵设为0。 4. 对于每个月份n从2到z: a. 计算当前卵的数量:如果n >x,则卵数量为成虫列表的第(n -x)项 * y,否则为0。 b. 将卵数量添加到卵列表。 c. 计算当前成虫的数量:如果n >=3,则成虫数量为成虫列表的第(n-1)项 + 卵列表的第(n-2)项,否则成虫数量等于前一个月的成虫数量(因为前两个月可能没有卵变成成虫)。 d. 将成虫数量添加到成虫列表。 5. 最后,显示成虫列表的第z项。 需要注意的是,当n=2时,n-2=0,此时可能没有卵列表的第0项,所以需要处理边界条件。例如,在n=2时,成虫数量等于前一个月(n=1)的成虫数量,即1,加上卵列表的第0项,如果卵列表不存在第0项,则视为0。因此,在初始化时,可能需要填充前几个月的卵为0。 或者,将月份从1开始,卵列表的第n项对应第n个月的卵数量。例如,当计算成虫[n]时,需要卵[n-2]。如果n-2 <1,则卵数量为0。 例如,当n=2时,卵[0]不存在,所以视为0,成虫[2] =成虫[1] +0=1。 当n=3时,卵[1]如果存在的话,比如如果x=1,那么卵[3] =成虫[3-1=2] * y。此时成虫[2]可能还是1,所以卵[3] =1*y。成虫[3] =成虫[2] +卵[1]。如果卵[1]是0,则成虫[3]仍然是1。 这样,可能需要确保在计算成虫[n]时,如果n-2 >=1,则取卵列表的第n-2项,否则为0。 所以在Scratch中,可以使用条件判断来处理这种情况。 现在,具体的Scratch积木块可能需要: - 当绿旗被点击时,询问用户输入x、y、z的值。 - 初始化成虫列表和卵列表。 - 删除成虫列表和卵列表的所有项目(初始化前清空)。 - 添加初始值:成虫列表的第1项为1,卵列表的第1项为0。 - 然后循环从2到z: - 对于当前月份n: - 计算卵数量:如果n >x,则设置卵数量为(成虫列表的第(n -x)项)* y,否则为0。 - 将卵数量添加到卵列表。 - 计算成虫数量:如果n >=2,成虫数量 = 成虫列表的第(n-1)项 + (如果n-2 >=1,则卵列表的第(n-2)项,否则0)。 - 将成虫数量添加到成虫列表。 可能需要使用“如果...否则”积木来处理这些条件。 但Scratch的列表索引是从1开始的,对吗?是的,Scratch的列表项索引从1开始。因此,第n个月对应列表的第n项。 例如,成虫列表的第1项是月份1,第2项是月份2,依此类推。 所以在循环中,当计算月份n时,需要访问成虫列表的第(n-1)项(前一个月),以及卵列表的第(n-2)项(两个月前的卵)。 但需要考虑当n-2是否>=1。例如,当n=2时,n-2=0,此时卵列表没有第0项,所以视为0。 因此,在Scratch中,可能需要这样处理: 当计算成虫数量时,如果n >=3,那么成虫数量 = 成虫列表的第(n-1)项 + 卵列表的第(n-2)项。否则,如果n=2,则成虫数量 =成虫列表的第1项 +0。 所以,在Scratch的积木块中,可以使用条件判断: 如果n >2,则成虫数量是 成虫列表的第(n-1)项 + 卵列表的第(n-2)项;否则,成虫数量是成虫列表的第(n-1)项(因为当n=2时,n-2=0,没有卵)。 这样,在Scratch中的代码可能如下: 当绿旗被点击 询问“输入x”并等待 将x设为回答 询问“输入y”并等待 将y设为回答 询问“输入z”并等待 将z设为回答 删除 [成虫列表 v] 全部 删除 [卵列表 v] 全部 添加 1 到 [成虫列表] 添加 0 到 [卵列表] 如果 z = 1 那么 说 (成虫列表的第 z 项) 否则 重复 (z -1) 次 将 [n v] 设为 (长度 of [成虫列表] +1) 如果 n >x 那么 将 [卵数量 v] 设为 ( (项 (n -x) of [成虫列表] ) * y ) 否则 将 [卵数量 v] 设为 0 添加 卵数量 到 [卵列表] 如果 n > 2 那么 将 [成虫数量 v] 设为 ( 项 (n -1) of [成虫列表] ) + ( 项 (n -2) of [卵列表] ) 否则 将 [成虫数量 v] 设为 ( 项 (n -1) of [成虫列表] ) 添加 成虫数量 到 [成虫列表] end 说 (成虫列表的第 z 项) end 但需要注意循环的次数。例如,当z=5,初始已经有一个月,所以需要循环4次(从2到5)。但原代码中的循环次数是z-1次,这样对于初始月份1,循环次数正确。 不过,在Scratch中,可能需要更仔细地处理循环次数。例如,如果初始列表已经有1个月,那么循环次数为z-1次,每次添加下一个月份的数据。 例如,如果z=1,直接返回。如果z>1,循环z-1次,每次处理月份n=2到z。 这样,上述代码应该可以工作。 现在,用户可能需要一个具体的例子,比如x=1,y=1,z=5。按照这个递推: 月份1:成虫=1,卵=0 月份2:n=2,n >x=1?是的,所以卵数量=成虫[2-1=1]=1*1=1。成虫数量=成虫[1] + 卵[0],但卵[0]不存在,所以成虫数量=1+0=1。成虫列表现在为[1,1],卵列表为[0,1] 月份3:n=3,卵数量=成虫[3-1=2]=1*1=1。成虫数量=成虫[2] +卵[1]=1+1=2。成虫列表[1,1,2],卵列表[0,1,1] 月份4:n=4,卵数量=成虫[4-1=3]=2*1=2。成虫数量=成虫[3] +卵[2]=2 +1=3.成虫列表[1,1,2,3], 卵列表[0,1,1,2] 月份5:n=5,卵数量=成虫[5-1=4]=3*1=3。成虫数量=成虫[4] +卵[3]=3 +2=5. 所以成虫列表第5项是5。这样,结果正确,类似于斐波那契数列。 用户可能需要这样的示例,所以给出具体的步骤和代码结构。 现在,我需要将这些步骤转化为中文的说明,并给出Scratch的积木块示例,可能用伪代码或实际截图,但这里只能文字描述。 另外,用户可能需要考虑如何测试这个程序,比如输入不同的x、y、z值,并验证结果是否正确。例如,当x=1,y=1,z=5时,成虫数量应为5对。 最后,可能需要提醒用户,由于Scratch的列表索引从1开始,需要确保在计算时正确引用列表项。</think>### Scratch递推算法实现昆虫繁殖问题 以下是使用Scratch实现递推算法的步骤和示例代码,以解决昆虫繁殖问题[^2]。 #### 1. 问题分析 设每对成虫过$x$个月产$y$对卵,卵需2个月长成成虫,初始为1对成虫。递推公式为: - **成虫数量**:$A(n) = A(n-1) + E(n-2)$ - **卵数量**:$E(n) = \begin{cases} A(n-x) \cdot y & n > x \\ 0 & n \leq x \end{cases}$ #### 2. Scratch实现步骤 1. **初始化变量和列表** - 创建变量`x`, `y`, `z`(通过用户输入) - 创建列表`成虫列表`和`卵列表` 2. **核心代码逻辑** ```scratch 当绿旗被点击 询问“输入x的值”并等待 将x设为回答 询问“输入y的值”并等待 将y设为回答 询问“输入z的值”并等待 将z设为回答 删除 [成虫列表 v] 全部 删除 [卵列表 v] 全部 添加 1 到 [成虫列表] // 初始月份1的成虫数量 添加 0 到 [卵列表] // 初始月份1的卵数量 重复 (z - 1) 次 将 n 设为 (列表长度 of [成虫列表] + 1) // 计算卵数量 如果 n > x 那么 将 卵数量 设为 (项 (n - x) of [成虫列表]) * y 否则 将 卵数量 设为 0 添加 卵数量 到 [卵列表] // 计算成虫数量 如果 n > 2 那么 将 成虫数量 设为 (项 (n - 1) of [成虫列表]) + (项 (n - 2) of [卵列表]) 否则 将 成虫数量 设为 (项 (n - 1) of [成虫列表]) 添加 成虫数量 到 [成虫列表] 结束重复 说 (合并 [z个月后的成虫数量是] (项 z of [成虫列表])) ``` #### 3. 示例测试 输入$x=1$, $y=1$, $z=5$时: 1. 月份1:成虫=1,卵=0 2. 月份2:成虫=1,卵=1 3. 月份3:成虫=2,卵=1 4. 月份4:成虫=3,卵=2 5. 月份5:成虫=5,卵=3 **结果输出**:`5个月后的成虫数量是5` #### 4. 关键点说明 - 列表索引从1开始,与月份直接对应 - 边界条件处理(如$n \leq x$时不产卵) - 时间复杂度为$O(z)$,适用于$z \leq 50$的情况
评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值